Matematika
Dobrý den, ještě mám dva příklady,kde si nejsem jistá, jedná se o výpočet dvojného integrálu s transformací do polárních souřadnic: u prvního příkladu nevím jaké budou hranice a druhý nedokážu vypočítat.
Odpovědi
Diskuze
∫∫ (x²+y²) * dx * dy
(D)
Ta oblast D je tam zapsána takto:
D: { 1 ≤ x² + y² ≤ 4 , y ≤ |x| }
to se dá rozepsat:
D: { x² + y² ≥ 1 , x² + y² ≤ 4 , y ≤ |x| }
jde o dvě oblasti omezené kružnicemi, rovnice kružnice je: r² = x² + y²
pak by se integrovalo (v pol. souřadnicích): r=<1,2> a t=< π/2+π/4 , 2π-π/4 >
polární substituce:
x=r*cos(t)
y=r*sin(t)
dx*dy=r*dr*dt
viz Jakobián:
https://www.ontola.com/cs/ondi/oqssic/matematika
∫∫ (x²+y²) * dx * dy
(D)
∫∫ r²*(sin²(t)+cos²(t)) * r*dr*dt
vzorec: 1 = (cos(t))²+(sin(t))²
∫∫ r³*dr*dt =
(X)
r^(4)/4*dt =
(X)
[2^(4)/4*dt] - [1^(4)/4*dt] =
(X)
[16/4*dt] - [1/4*dt] =
(X)
[15/4*dt] =
(X)
∫ 15/4*dt =
(X)
t=< π/2+π/4 , 2π-π/4 >
[15/4*7/4*π] - [15/4*3/4] =
=15/4*π
========
∫∫ √(1-x²-y²) * dx * dy =
(D)
D: { čtvrtina kruhu x² + y² ≤ 1 }; zvolíme 1. kvadrant, protože tam je objem kladný
---
∫∫ √(1-x²-y²) * dx * dy =
(D)
polární substituce:
x=r*cos(t)
y=r*sin(t)
dx*dy=r*dr*dt
viz Jakobián:
https://www.ontola.com/cs/ondi/oqssic/matematika
∫∫ √(1-x²-y²) * dx * dy =
(D)
∫∫ √(1 - r²*cos²(t)-r²*sin²(t) ) * r*dr*dt =
(X)
vzorec: 1 = cos²(t)+sin²(t)
X: r=<0,1>, t=<0,π/2>; v zadání je 1/4 kruhu
∫∫ √(1-r²) * r*dr*dt =
(X)
1/3*( (1+r)*(1-r) )^(3/2) =
(X)
[1/3*( (1+1)*(1-1) )^(3/2)]*dt - [1/3*( (1+0)*(1-0) )^(3/2)]*dt =
∫-1/3*dt =
(X)
-1/3*t =
(X)
[-1/3*π/2]-[-1/3*0] =
=[-π/6]
=======
(nejspíš tam bude chyba ve znaménku, objem musí být kladný)
https://www.mathway.com/Calculus
Znaménka jsou správně pro mezikruží ( sqrt(4) = 2 ), resp. jeho výseč.
Jinak pěkná práce na těch integracích.
https://www.ontola.com/cs/ondi/jdwbja/matematika
BTW: Latině tvého kmene rozumím, ale konkrétní název příběhu se mi už nevybavuje :-(
https://www.ontola.com/cs/onu/wtmnxy/cenobita