Matematika
Dobrý den, počítám příklady z matematiky a mám vypočítat dvojný integrál transformací do polárních souřadnic, a výsledek má být píha^2 a nevím, jak se odstraní x a y.
Odpovědi
Diskuze
∫∫ (h - 2x - 3y) * dx * dy =
(D)
polární substituce:
x=r*cos(t)
y=r*sin(t)
dx=dr*cos(t) - r*sin(t)*dt
dy=dr*sin(t) + r*cos(t)*dt
(dr)²=0
(dt)²=0
dx*dy=( dr*cos(t) - r*sin(t)*dt ) * (dr*sin(t) + r*cos(t)*dt)
dx*dy= r*cos(t)*cos(t)*dr*dt - r*sin(t)*sin(t)*dr*dt
dx*dy= r*(cos²(t)+sin²(t))*dr*dt
dx*dy= r*dr*dt; (toto se implementuje jako tzv. Jakobián a nikdy jindy se to už neodvozuje, zde jsem to odvodil)
===============
viz:
https://cs.wikipedia.org/wiki/Jacobiho_matice_a_determinant
∫∫ (h - 2x - 3y) * dx * dy =
(D)
∫∫ (h - 2*r*cos(t) - 3*r*sin(t)) * (r*dr*dt) =
∫∫ (r*h - 2*r²*cos(t) - 3*r²sin(t)) * dr*dt =
∫ [ (r*h*t - 2*r²*sin(t) + 3*r²*cos(t)) * dr ] =
(X)
X: t=<0,2π>
∫ [ (r*h*2π - 2*r²*sin(2π) + 3*r²*cos(2π)) * dr ] - [ (r*h*0 - 2*r²*sin(0) + 3*r²*cos(0)) * dr ] =
(X)
∫ [ (r*h*2π - 2*r²*0 + 3*r²*1) * dr ] - [ (r*h*0 - 2*r²*0 + 3*r²*1) * dr ] =
(X)
X: r=<0,a>
∫ (r*h*2π) * dr =
(X)
(r²/2*h*2π) =
(X)
[(r²/2*h*2π) - [(r²/2*h*2π)]=
[(a²*h*π) - [(0²*h*π)]=
=π*ha²
======