9^x + 15^x = 25^x

Takhle si s tím poradí WolframAlpha: https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+9%5Ex+%2B+15%5Ex+%3D+25%5Ex

x = 0,9420275778492401496911282263079...

jj, analyticky je to ještě zajímavější

Analytický postup mě asi v 10 minutách přemýšlení v hlavě bez papíru nenapadl. Pak zvítězila moje lenost a otevřel jsem Wolfram.

Že by to souviselo s tím početním cvičením pod nesouvisející otázkou vedle? https://www.ontola.com/cs/ondi/ygaowj/matematika-priklady

Anonym Cunyvar: Ten odkaz je jen sbírka příkladů. V tomto případě mne zajímalo, zda to někdo dá, dost mne to potrápilo.

Když jsem se k tomu konečně posadil s tužkou v ruce a papírem, tak jsem to za 10 minut i s počátečním tápáním a pár slepými větvemi vyřešil na 7 řádek.

Zde rozepsanější postup:

9^x + 15^x = 25^x
(3^2)^x + (3.5)^x = (5^2)^x
(3^x)^2 + 3^x.5^x = (5^x)^2

3^x = a
5^x = b

a^2 + ab = b^2
a^2/b^2 + ab/b^2 = 1
(a/b)^2 + (a/b) - 1 = 0

a/b = c

c^2 + c - 1 = 0
c1,2 = (-1 +/- odm(1+4))/2

--------------
c1 = (odm(5)-1)/2
a/b = (odm(5)-1)/2
3^x/5^x = (odm(5)-1)/2
(3/5)^x = (odm(5)-1)/2

x = log_(3/5)(odm(5)-1)/2
x = [log(odm(5)-1)/2] / log(3/5)
x = [log(odm(5)-1) - log(2)] / [(log(3) - log(5)]

---------------
c2 = -(odm(5)+1)/2)
x = log_(3/5)[-(odm(5)+1)/2]
logaritmus záporného čísla = imaginární řešení.

> pár slepými větvemi vyřešil na 7 řádek

Aby mě někdo nepodezíral, že si vymýšlím, tak tady je foto originálního papíru. ;-)