polynom 3.stupně

pavelbr1201.01.2015 18:17 Nahlásit
Může mít reálný polynom 3. stupně jen jeden kořen? Zná někdo odpověď?

Odpovědi

Přidat odpověď ▾

Diskuze

pavelbr1201.01.2015 20:11 Nahlásit
Děkuju, takže např. polynom (x-3)^3 je správná odpověď, že?
xewerob01.01.2015 20:13 (Upr. 01.01.2015 20:25) Nahlásit
V oboru komplexních čísel má každý polynom stupně N počet kořenů N - některé mohou (ale nemusí) být reálná čísla, ostatní jsou po dvojicích komplexně sdružená čísla - tj. komplexních kořenů je vždy sudý počet (nebo 0). Tohle se ale běžně ve škole asi moc nepoužije.

V oboru reálných čísel má každý polynom LICHÉHO stupně VŽDY alespoň jeden kořen (je to vidět z grafu – funkční hodnoty jsou u lichého stupně polynomu vždy od -∞ do +∞, takže aspoň jednou musí protnout osu x (tj. y=0)).
Bavíme-li se teď o 3. stupni, pak buď další reálné kořeny nemá, nebo má reálné všechny tři. To už není na první pohled nijak snadno vidět, musí se to buď spočítat nebo třeba udělat analýzu toho grafu (lokální extrémy apod.), pokud nás třeba zajímá jen existence těch kořenů a ne nutně jejich přesné hodnoty.
xewerob01.01.2015 20:19 (Upr. 01.01.2015 20:31) Nahlásit
k příspěvku 20:11:

Jen pozor na jeden detail: (x-3)³ má sice jeden kořen (x=3), ale ten je trojnásobný - fakticky má jakoby tři reálné kořeny stejné hodnoty – je to vlastně (x-3)(x-3)(x-3).

Zatímco třeba x³-x²+x-1 = (x-1)(x²+1) má opravdu jen jeden (jednoduchý) reálný kořen x = 1.
Přidat komentář do diskuze ▾