reálné polynomy
Neví někdo, proč se reálné polynomy 4. stupně dají rozložit na součin reálných polynomů nižších stupňů, tj. nejsou ireducibilní.?
Odpovědi
Diskuze
Vzorce pro polynomy stupně 4 jsou tak odporné, že většina knížek je ani neuvádí, aby nezpůsobily trauma delikátnějším čtenářům. K dovršení všeho je jedním z nejdůležitějších výsledků obecné algebry věta, že pro polynomy stupně 5 a víc ani žádné vzorce pro kořeny být nemohou.
Nalezení kořenů je proto otázkou náhody a štěstí. Obvykle zkusíme jeden kořen uhodnout, pak vytkneme odpovídající faktor (x - c) a podíváme se na zbylý polynom stupně o jeden menší než ten původní.
http://math.feld.cvut.cz/mt/txtb/4/txc3ba4b.htm
http://forum.matematika.cz/viewtopic.php?id=6531
http://physics.ujep.cz/~jmaly/mo/systems.pdf
Z uvedeného je vidět, že už polynom 4. stupně dokáže udělat složitý příklad a co vyšší stupně o tom ani nemluvě.
Nicméně, základní otázka zůstává nezodpovězena – pro jsou vždy reducibilní?
Soudím že je to dáno tím, že polynom stupně N má v komplexním oboru vždy N kořenů, které jsou buď reálné, nebo po dvou komplexně sdružené (to beru v této diskusi jako axióm, někdo někde to opravdu dokázal). Pokud polynom takto rozložíme (je zřejmé, že v komplexním oboru to vždy jde až na členy pouhého prvního stupně) a páry odpovídající komplexně sdruženým kořenům vynásobíme, dostaneme kvadratické členy, které jsou v oboru reálných čísel ireducibilní (mají právě jen ty komplexní kořeny, ze kterých vynásobením vzešly).
Z toho ovšem plyne, že z toho úplného rozkladu v komplexním oboru se vždy dostaneme do reálného oboru s rozkladem, ve kterém se objeví jen členy prvního stupně (reálné kořeny) nebo členy druhého stupně (páry komplexních kořenů). Vyšších stupňů netřeba, není důvod aby existovaly.
Z toho ovšem obráceně plyne, že jakýkoli rozklad, který obsahuje členy vyšších řádů je "nedokončený" a tyto členy musí být možno redukovat na nižší řád.
To je důkaz (byť poměrně odvážně neformální), že polynom 4. řádu je nutně reducibilní. Problém je jistě v tom, že ten důkaz praví jen tolik, ŽE to jde. Naprosto nepomůže s postupem JAK. To pak jsou ty odporné vzorce, resp. u vyšších řádů je to obecně nemožné docela. Ale taková už ta naše drahá matematika je… :-)