Matematika, důkazy
Dokažte, že pro každé liché přirozené číslo n je součet n^4 + 2n^2 + 2013 dělitelný číslem 96.
Jak? Prosím:(
Jak? Prosím:(
Odpovědi
Diskuze
https://www.ontola.com/cs/di/matematicka-olympiada-kategorie-c-3
http://cgi.math.muni.cz/~rvmo/ABC/63/c63in.pdf
---
n^4 + 2n^2 + 2013 =
n^2*(n^2 + 2) + 2013 =
(2x-1)^2*((2x-1)^2 + 2) + 2013 =
n=2x-1 (lichá čísla)
(2x-1)^4 + 2(2x-1)^2 + 2013=
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%282x-1%29%5E4+%2B+2%282x-1%29%5E2+%2B+2013%3D
16*(x^2-x)^2 + 16*(x^2-x) + 2016 = 96 * ?
16*( x*(x-1) )^2 + 16*( x*(x-1) ) + 2016 = 96 * ?
2016 je dělitelné 96
a zbytek výrazu:
16*(4 + 2)
16*(36 + 6)
16*(12*12 + 12)
16*(20*20 + 20)
...
16*(výraz v závorce) je vždy dělitelné 96, protože výraz v závorce je vždy dělitelný 6