Matematická olympiáda - kategorie C
Dobrý den vespolek, právě řeším domácí část školního kola matematické olympiády kategorie C a nevím si rady s první úlohou - mohli byste mi prosím pomoci?
Určete,jaké nejmenší hodnoty může nabýt výraz V =(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²
splňují-li reálná čísla a, b, c dvojici podmínek:
a + 3b + c =6,
−a + b − c =2.
Předem děkuji za pomoc
Určete,jaké nejmenší hodnoty může nabýt výraz V =(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²
splňují-li reálná čísla a, b, c dvojici podmínek:
a + 3b + c =6,
−a + b − c =2.
Předem děkuji za pomoc
Odpovědi
Diskuze
V= 2a2 + 2b2 + 2c2 - (2ab + 2bc + 2ac)
ted mas tu rovnici:
a + 3b + c = - a + b - c + 4 (chápeš..?)
2a + 2b + 2c=4
a,b,c= průměrně 2/3
V= 2(4/9) + 2(4/9) + 2(4/9) - ( 2*4/9 + 2*4/9 + 2*4/9)
V=0
takhle mi to vyšlo ale nejsem si jistá radši si počkej ještě na někoho jiného (třeba Mezek) :)
a + 3b + c =6
-a + b - c =2
4b=8
b=2
===
a + c = 0
-a - c = 0
a=-c
====
takže dosadíme podmínky do rovnice:
V =(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²
a dostaneme:
V =(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²
V =((-c)-2)²+(2-c)²+(c-(-c))²
V =(-c-2)²+(2-c)²+(2c)²
V =(c+2)²+(2−c)²+(2c)²
V =(c²+4c+4)+(4-4c+c²)+(4c²)
V =6c²+8 (tím jsme dostali funkci o jedné proměnné)
a nyní můžeme hledat lokální minimum funkce V=V(c) :
dV/dc =12c (první derivace funkce)
dV/dc=0 (první derivaci položíme rovnu nule)
0=12c
c=0
V =6*(0)²+8 =8
minimální hledaná hodnota výrazu je: V=8
========================================
http://cgi.math.muni.cz/~rvmo/ABC/63/c63in.pdf
https://cgi.math.muni.cz/~rvmo/ABC/63/c63in.pdf