Jak vypočítat délku těžnice?

Anonym Fokesyc19.04.2016 22:16 Nahlásit
Vypočítejte délku těžnice tr v trojúhelníku PQR: P=[1;4], Q=[-5;0], R=[-3;-2]
Děkuji za radu, prosím polopaticky :-)

Odpovědi

Přidat odpověď ▾

Diskuze

Anonym Gabuliq19.04.2016 23:01 Nahlásit
Můžeš si odvodit vzorec a pak z délek stran trojúhelníka spočítat požadované, ale pohodlnější pro tebe asi bude spočítat středy stran (střed úsečky AB je (A+B)/2 ) a spočítat vzdálenosti středů od příslušných vrcholů.
Anonym Nihudig19.04.2016 23:03 Nahlásit
Správná otázka :-)
Vždycky je lepší napřed poradit – tazatel to jednak nemá úplně zadarmo a hlavně má šanci to řešení pochopit, když tomu musí nějaké úsilí věnovat.

Těžnice spojuje vrchol se středem protilehlé strany, že?
Kde bude střed T protilehlé strany (PQ)? Představ si to napřed třeba jen na číselné ose, kde je střed mezi čísly 1 a -5?
A jak se spočítá délka úsečky, tj. vzdálenost bodu R a dříve nalezeného bodu T?
Anonym Fokesyc20.04.2016 09:29 Nahlásit
Graficky na číselné ose to mám,PQ: Sr =[-2;2]...mám i výpočet P-Q: -5+1/2=-2 0+4/2=2 ale nevím co s tím dál, jak to mám zapsat do vzorce a spočítat těžnici.
Cenobita.20.04.2016 09:50 Nahlásit
Je třeba si ujasnit, že každý trojúhelník (bez výjimky) má tři těžnice, budeme počítat jednu (kterou ?) a nebo všechny tři těžnice? Těžnice totiž mají stejnou délku jen v rovnostranném trojúhelníku. V rovnoramenném trojúhelníku mají stejnou délku jen dvě těžnice. V obecném trojúhelníku jsou všechny tři těžnice navzájem různé, ale protínají se vždy v těžišti.
Anonym Fokesyc20.04.2016 10:07 Nahlásit
Jen těžnici, která je k vrcholu R, proto ten předchozí výpočet středu strany r. Podle grafického znázornění na číselné ose se jedná o rovnoramenný trojúhelník, kdy PQ = PR. Prosím jaký mám použít vzorec?
Cenobita.20.04.2016 10:26 (Upr. 20.04.2016 14:16) Nahlásit
U rovnoramenného trojúhelníku se celá situace kolem řešení velmi zjednoduší, protože stačí vypočítat pomocí Pythagorovy věty výšku trojúhelníka, která je současně i těžnicí.

---

Trojúhelník však může být v zadání klidně i obecný, a tedy nebýt rovnoramenný (rovnoramennost je nutné vždy ověřit):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=triangle+P+%5B1,4%5D,+Q%5B-5,0%5D,+R%5B-3,-2%5D

Pozn: Výpočet je vždy výhodnější udělat pomocí analytické geometrie.

Takže volíme těžnici: tp ?
Cenobita.20.04.2016 10:32 (Upr. 20.04.2016 14:15) Nahlásit
Program Wolfram dokáže spočítat i délky stran. jejich porovnáním je potvrdit, že je trojúhelník rovnoramenný. Protože jde o rovnoramenný trojúhelník, výpočet se zjednoduší, pak stačí Pythagorova věta:

|PQ|=2√13
|PR|=2√13
|QR|=2√2

tp² = |PR|² - (|QR|/2)²
tp² = (2√13)² - (2√2/2)²
tp² = 4*13 - 2 = 50
tp= √50 = 5√2
=============
Anonym Kynyhyj20.04.2016 12:45 Nahlásit
Děkuji všem za rady,mohu to zapsat takhle, je to správný zápis a výsledek?
střed strany r ... Sr = [-2;2] vrchol ... R = [-3;-2]
výpočet těžnice: │t│= √(-1)² +(-4)² = √1+16 = √17 = 4,123
Anonym Guniqev20.04.2016 12:46 Nahlásit
Fokesycu, cos napsal(a?) v 09:29, je už prakticky hotový :-) Vykašli se na "vzorce" (a na Cenobitovy šílené plky plné, kdovíproč, rovnoramenných trojúhelníků) a jen pokračuj v započaté myšlence.

Střed Sr strany PQ máš správně [-2,2], je to vlastně (P+Q)/2, jak psal Gabuliq.

A teď už jen délku té těžnice. Když si ty dva body Sr a R nakreslíš do roviny s osami souřadnic x a y tak vidíš, že jejich vzdálenost je vlastně přepona pravoúhlého trojúhelníka, který má odvěsny rovnoběžné s osami.

A délky těch odvěsen jsou vzdálenosti těch dvou budů postupně na ose x a na ose y.
Neboli odvěsny jsou dlouhé |x(Sr)-x(R)| a |y(Sr)-y(R)|, neboli |(-2) - (-3)| a |2 - (-2)|, tj. 1 a 4.
A když znáš délky odvěsen a znáš se aspoň od vidění s panem Pythagorem, tak už je to jasný, ne? :-)
Anonym Kynyhyj20.04.2016 13:33 Nahlásit
Děkuji, počítala jsem Xr - XSr = -3-(-2)=-1 YR - YSr = -2-2 = -4
pak podle Vlaďky jako vektor a do vzorce jsem zadala -1 ; -4, protože nevím kde se vzala 13 u Cenobity a podle nákresu ve čtverečkovém papíru není žádný úhel pravý.
Cenobita.20.04.2016 14:08 (Upr. 20.04.2016 14:17) Nahlásit
Výše jsem počítal těžnici: tp

1) (4-0)*(4-0) + (1-(-5))*(1-(-5)) = 4*4 + 6*6 = 16+36=52 = 26*2 = 13*4 ===> přepona = 2*√13
2) (1-(-3))*(1-(-3)) + (4-(-2))*(4-(-2))= 4*4 + 6*6 = 36+16 = 52 = 26*2 = 13*4 ===> přepona = 2*√13

Trojúhelník je "rovnoramenný", tedy jeho těžnice je totožná s výškou a výška je kolmá na základnu.

Výpočet tr jsem tu neudělal.
Anonym Qipuref20.04.2016 16:12 Nahlásit
A že jsem tak smělý, Cenobito, proč tady patláš jakési výpočty, na které se nikdo neptal, a neděláš výpočet (nebo návod k řešení) toho, na co se naopak tazatel ptal? Mystika takového postupu se poněkud vymyká mému chápání :-)
Cenobita.20.04.2016 16:43 Nahlásit
Anonym Qipuref: chápu, že to je pro tebe složité, a že to nemůžeš pochopit, trošku ti pomohu: prostě jsem se spletl a vypočítal jinou těžnici - zadání jsem totiž přesně nepochopil, když u toho nebyl obrázek, už ti svítá ?
Anonym Judonur20.04.2016 21:16 Nahlásit
Aha. Není to až tak složité, když to takhle rozumně vysvětlíš - takhle to dává smysl. Dík.
Přidat komentář do diskuze ▾