Výpočet objemu rotujícího útvaru
Dobrý den, potřeboval bych pomoct jak se vypočítá tento příklad y=1/1+x^2, x=-1,x=1
Odpovědi
Diskuze
https://www.symbolab.com/solver/step-by-step/%5Cpi%5Cint_%7B%20-1%7D%5E%7B1%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cleft(1%2Bx%5E%7B2%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%7Ddx?or=input
Zvolil jsem rotaci podle osy: y
Pokud se jedná o rotační těleso, tak se musí počítat podle vzorce:
V = ∫dV = ∫S(y)*dy = ∫π*x²*dy
nebo se může použít i dvojný integrál, ale to bude asi složitější.
---
y=1/(1+x²), x=-1,x=1
(1+x²)=1/y, x=-1,x=1
x²=-1+1/y, x=-1,x=1
1=-1+1/y
2=1/y
y=1/2
nové integrační meze:
x²=-1+1/y, y=1/2,y=1
V = ∫π*(-1+1/y)*dy
V = π*( -y+ln|y| ) + C
V = π*( -1+ln|1| ) - π*( -1/2+ln|1/2| )
V = π*( -1 ) - π*( -1/2+ln|1/2| )
V = π*( 1/2 - ln|1/2| )
===
V=3,7483824170984987497320105898768
Integrujeme od nuly do 1, protože je funkce symetrická podle osy y.
V = ∫dV = ∫S(x)*dy = 2*∫π*y²*dx; x=0 do x=1
y=1/(1+x²)
V=2*∫π*y²*dx
V=2π*∫ (1/(1+x²))²*dx
∫ (1/(1+x²))²*dx = 1/2 * (x/(1+x²) + arctg(x) ) + C
V = π * (x/(1+x²) + arctg(x) ) + C
V= π * (1/(1+1²) + arctg(1) ) - π * (0/(1+0²) + arctg(0) )
V= π * (1/2 + π/4 ) - π * (0/(1+0²) + 0 )
V= π * (1/2 + π/4 )
===