Ontola > Matematika > diskuze
| Nahlásit

Jak vypočítám výšku kosočtverce, když znám pouze stranu a úhlopříčku?

Jak vypočítám výšku kosočtverce, když znám pouze stranu (26 cm) a úhlopříčku (20cm)?
Témata: matematika

14 reakcí

(Upraveno 14.10. 13:50) | Nahlásit
V tomto kosočtverci můžeme nalézt rovnoramenný trojúhelník ABC o stranách a = 26 cm, b = 26 cm a c = 20 cm, který je tvořen dvěma stranami kosočtverce a ktratší z obou úhlopříček.
Z kosinovy věty můžeme zjistit, jaký úhel svírají strany a a b, což je jeden z vnitřních úhlů kosočtverce. Nazvěme jej alpha.
Kosinova věta říká, že pro strany a, b, c libovolného trojúhelníka a pro úhel alpha, který svírají strany a a b, platí rovnost:
c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(alpha)

Tu použijeme:
c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(alpha)
20^2 = 2*26^2 - 2*26^2*cos(alpha)
(2*26^2 - 20^2)/(2*26^2) = cos(alpha)
(1 - (100/338)) = cos(alpha)
arccos(1-(100/338)) = alpha
arccos(119/169) = alpha


Menší z vnitřních úhlů kosočtverce ve stupních je tedy 180/pi * arccos(119/169), větší z nich je 180/pi * arccos(119/169).

Výška kosočtverce se počítá pomocí vzorce v = a * sin(alpha1) = a * sin(alpha2), kde úhel je v radiánech.
(sinus je lichá funkce, takže je jedno, který z úhlů použijeme)

Platí tedy v = 26 * sin(arccos(119/169)) cm.
| Nahlásit
Ještě dodám, že podle matematického programu, kde jsem to teď kontroloval, jde výsledek upravit na 240/13, ale není mi jasné, jak se k tomu došlo.
| Nahlásit
Z trojúh. ABD spočítáš kosinovou větou modrý úhel a pak pomocí sinu modrého úhlu spočítáš zelenou výšku.
Náčrtek zadání úlohy
Náčrtek zadání úlohy
| Nahlásit
Nedal jsem refresh a Wydygiz mě předběhl.
| Nahlásit
> jde výsledek upravit na 240/13, ale není mi jasné, jak se k tomu došlo

cos(a) = 119/169

sin(a) = odm(1-cos^2(a))

sin(a) = odm(1-119^2/169^2) = odm[(169-119)(169+119)/169^2] =
(1/169).odm(50.288) = (10/169).odm(144) = 120/169

v = 26.sin(a) = 2.13.120/(13.13) = 240/13
| Nahlásit
Všechno špatně!
1. Musíte DOKÁZAT (vskutku dokázat, nikoli jen arogantně prohlásit!), že ona úhlopříčka je kratší z obou úhlopříček!
2. Kosočtverec má dvě (různé) výšky, musíte spočítat obě!
(Upraveno 14.10. 17:48) | Nahlásit
Přeji pěkný večer, Anonyme Disynoqe,

To, že kosočtverec má dvě různě dlouhé výšky, je nepravdivý blud. Vzhledem k tomu, že do kosočtverce je možné vepsat kružnici, je výška rovna průměru vepsané kružnice.
(Upraveno 14.10. 18:13) | Nahlásit
Omlouvám se za předchozí unáhlené tvrzení o úhlopříčkách kosočtverce. Samozřejmě není pravda, že by jedna byla vždy nutně kratší a druhá nutně delší než strany, to platí jen tehdy, pokud je jeden z vnitřních úhlů menší než 60 stupňů, což dokazuji zde:

Mějme obecný kosočtverec ABCD o délce strany a a čtyři vnitřní úhly o dvou různých velikostech alpha a beta. Z definice kosočtverce nutně plyně, že 2 * (alpha + beta) = 360 a současně alpha =/= beta a současně 0 < alpha < 180 a současně 0 < beta < 180 stupňů.

Uvažujme o dvou rovnoramenných trojúhelnících T1 a T2, kde ramena obou mají délku a, základna trojúhelníku T1 je rovna délce u1, základna trojúhelníku T2 je rovna délce u2.

Úhel, jež svírají ramena trojúhelníku T1 označme beta, úhel, jež svírají ramena trojúhelníku T2 označme alpha.

Z kosinovy věty plyne:

u1^2 = 2*a^2 - 2*a^2*cos(beta)
u2^2 = 2*a^2 - 2*a^2*cos(alpha)

Chceme ukázat, že u1 < a < u2, proto (za předpokladu, že délky u1, u2 a a jsou vždy kladné a že kvadratická funkce omezená na nezáporná reálná čísla je injekcí) dokazujeme:

u1 < a < u2
sqrt(u1^2) < a < sqrt(u2^2)
sqrt(2*a^2 - 2*a^2*cos(beta)) < a < sqrt(2*a^2 - 2*a^2*cos(alpha))
sqrt(2a^2 * (1 - cos(beta))) < a < sqrt(2*a^2 * (1 - cos(alpha))
sqrt(2) * a * sqrt(1 - cos(beta)) < a < sqrt(2) * a * sqrt(1 - cos(alpha))

Jelikož předpokládáme, že délka a je nenulová a nezáporná, lze nerovnost upravit:

sqrt(2) * sqrt(1 - cos(beta)) < 1 < sqrt(2) * sqrt(1 - cos(alpha))
sqrt(1 - cos(beta)) < sqrt(2)/2 < sqrt(1 - cos(alpha))

Jelikož pro kladná reálná čísla je kvadratická funkce injekcí, upravujeme:

1 - cos(beta) < 1/2 < 1 - cos(alpha)
- cos(beta) < -1/2 < - cos(alpha)
cos(beta) > 1/2 > cos(alpha)

Jelikož arcus cosinus je kledající funkce, mění se při úpravě znaménko:

beta < arccos(1/2) < alpha
beta < 60 [převedeno na stupně] < alpha

Takže je pravda, že nemusí platit u1 < a < u2, to platí jen tehdy, pokud jeden z úhlů má velikost menší než 60 stupňů.

Rád bych ale ukázal, že pokud je jedna z úhlopříček kratší než strana a, pak druhá musí být nutně delší než a.
Neplatí tedy obecně ani

u1 < u2 < a

ani

u2 < u1 < a

Používáme stejné zápisy jako v předchozím příkladu, dokazujeme sporem

u1 < u2 < a
u2 < u1 < a

sqrt(u1^2) < sqrt(u2^2) < a
sqrt(u2^2) < sqrt(u1^2) < a

sqrt(2*a^2 - 2*a^2*cos(beta)) < sqrt(2*a^2 - 2*a^2*cos(alpha)) < a
sqrt(2*a^2 - 2*a^2*cos(alpha)) < sqrt(2*a^2 - 2*a^2*cos(beta)) < a

sqrt(2a^2 * (1 - cos(beta))) < sqrt(2*a^2 * (1 - cos(alpha)) < a
sqrt(2*a^2 * (1 - cos(alpha)) < sqrt(2a^2 * (1 - cos(beta))) < a

sqrt(2) * a * sqrt(1 - cos(beta)) < sqrt(2) * a * sqrt(1 - cos(alpha)) < a
sqrt(2) * a * sqrt(1 - cos(alpha)) < sqrt(2) * a * sqrt(1 - cos(beta)) < a

sqrt(2) * sqrt(1 - cos(beta)) < sqrt(2) * sqrt(1 - cos(alpha)) < 1
sqrt(2) * sqrt(1 - cos(alpha)) < sqrt(2) * sqrt(1 - cos(beta)) < 1

sqrt(1 - cos(beta)) < sqrt(1 - cos(alpha)) < sqrt(2)/2
sqrt(1 - cos(alpha)) < sqrt(1 - cos(beta)) < sqrt(2)/2

1 - cos(beta) < 1 - cos(alpha) < 1/2
1 - cos(alpha) < 1 - cos(beta) < 1/2

- cos(beta) < - cos(alpha) < -1/2
- cos(alpha) < - cos(beta) < -1/2

cos(beta) > cos(alpha) > 1/2
cos(alpha) > cos(beta) > 1/2

beta < alpha < 60 [převedeno na stupně]
alpha < beta < 60 [převedeno na stupně]

Což je v rozporu s našimi předpoklady, protože pak by součet vnitřních úhlů byl menší než 240, což je méně než 360 a dle předpokladů je součet vnitřních úhlů kosočtverce 360.
Z toho plyne, že pokud je jedna z úhlopříček kosočtverce kratší než strana, druhá nikdy kratší být nemůže a tedy postup, který jsme předvedli při výpočtu příkladu, byl správný. Samozřejmě zpětně uznávám, že Disynoq měl pravdu a že jsem při řešení tento důkaz zanedbal. Každopádně trvám na tom, že je nesmysl, že by kosočtverec měl dvě různě dlouhé výšky.
(Upraveno 15.10. 00:15) | Nahlásit
Nedá mi to a abychom to měli kompletně, podám tedy ještě důkaz, že všechny výšky kosočtverce jsou stejně dlouhé.

Tentokrát máme obecný kosočtverec ABCD o straně délky a, vnitřní úhly nazeve alpha a beta.
Výška je vzdálenost protilehlých stran. Hledejme tedy vzdálenost stran AB a CD, což lze redukovat na problém hledání vzdálenosti mezi bodem A a stranou CD.
Výšku vedeme z bodu a A do bodu S ležícího na straně CD tak, že vzniká pravoúhlý trojúhelník ASD, kde |AS| = v1, což je hledaná výška. Úhel CDA je beta.

Součet vnitřních úhlů trojuhelníku činí 180. Vnitřní úhel při vrcholu D je beta, úhel při vrcholu S je pravý a tedy úhel při vrcholu A je 90 - beta.
Platí tedy:

cos(pi/2 - beta) = v1/a
v1 = a * cos(pi/2 - beta)

Nyní vyjádříme výšku jako vzdálenost stran AD a BC. Problém redukujeme na hledání vzdálenosti mezi bodem C a stranou AD. Na straně AD vytyčíme bod T tak, že vzdálenost |CT| = v2. Vznikl tedy trojúhelník CTD, kde u vrcholu T je pravý úhel, u vrcholu D je úhel beta, úhel při vrcholu C je ze znalosti o vnitřních úhlech trojúhelníku 90 - beta.
Vyjádříme výšku pomocí goniometrických funkcí.

cos(pi/2 - beta) = v2/a
v2 = a * cos(pi/2 - beta)

Z odvozeného plyne v1 = v2, tedy že vzdálenost stran AB a CD je v kosočtverci obecně stejná jako vzdálenost stran AD a BC, tedy v kosočtverci vždy nutně existuje jen jediná výška.
(Upraveno 14.10. 18:45) | Nahlásit
Shrnutí je tedy takové:

Kosočtverec má pouze jedinou výšku, rozhodně nemá dvě různé. Výpočet jedné výšky v kosočtverci byl implicitní a nebylo třeba předpokládat existenci jiných.

Úhlopříčky kosočtverce jsou různé a opravdu obecně neplatí nerovnost u1 < a < u2. Bylo dokázáno, že ta platí pouze tehdy, pokud menší z vnitřních úhlů je menší než 60 stupňů.

Bylo dokážáno, že pokud je jedna úhlopříčka kosočtverce menší než strana kosočtverce, pak druhá z úhlopříček musí být nutně delší než strana kosočtverce. Ze zadání je tedy zřejmé, že zadaná úhlopříčka je kratší než úhlopříčka druhá, ale je třeba podat důkaz, že nikdy neplatí u1 < u2 < a ani u2 < u1 < a.

Už je to ok, Disynoqe?
(Upraveno 15.10. 22:25) | Nahlásit
Ještě jsem zapomněl dokázat předchozí tvrzení, že každému kosočtverci lze vepsat kružnici a že výška kosočtverce je tedy rovna průměru této kružnice.

Zobrazme tedy kosočtverec ABCD do kartézského souřadného systému tak, že bod A[0,0] leží v počátku soustavy, úsečka AB leží na ose x, tedy bod B má souřadnice B[a,0], kde a je strana kosočtverce.
Dále uvažujme o tom, že vnitřní úhel u vrcholu A je úhel alpha, platí alpha < beta, tedy alpha < pi/2 rad. Kosočtverec tedy bude vždy ležet v prvním kvadrantu kartézské soustavy souřadnic.
Jelikož alpha < pi/2 je vnitřní úhel u vrcholu A, pak bod D bude mít souřadnice D[a * sin(pi/2 - alpha), a * cos(pi/2 - alpha)], což plyne z vlastnostní pravoúhlého trojúhelníku a analogicky bod C bude mít souřadnice C[a * sin(pi/2 - alpha) + a, a * cos(pi/2 - alpha)].
Rekapitulace:

A[0,0]
B[a,0]
C[a * sin(pi/2 - alpha) + a, a * cos(pi/2 - alpha)]
D[a * sin(pi/2 - alpha), a * cos(pi/2 - alpha)]

Uvažujme nyní o úhlopříčce u1, která je ohraničena krajními body B a D a o úhlopříčce u2, která je ohraničena krajními body A a C.
Střed úhlopříčky u1 je bod S1[(Bx + Dx)/2, (By + Dy)/2], tedy S1[(a * sin(pi/2 - alpha) + a)/2, (a * cos(pi/2 - alpha)/2].
Pro střed úhlopříčky u2 nazvaný S2 platí S2[(Ax + Cx)/2, (Ay + Cy)/2], tedy S2[(a * sin(pi/2 - alpha) + a)/2, (a * cos(pi/2 - alpha))/2].

Zřejmě tedy S1 = S2, tedy úhlopříčky u1 a u2 mají společný střed S[(a * sin(pi/2 - alpha) + a)/2, (a * cos(pi/2 - alpha))/2].

Uvažujme nyní o trojúhelníku ABS.

Zřejmě |AB| = sqrt((0-0)^2 + (a-0)^2) = a.

Dále |AS| = sqrt((0 - (a * sin(pi/2 - alpha) + a)/2))^2 + (0 - ((a * cos(pi/2 - alpha))/2))^2) = sqrt(( (a * sin(pi/2 - alpha) + a)/2))^2 + ((a * cos(pi/2 - alpha))/2)^2) = sqrt(( a^2*sin(pi/2-alpha)^2 + 2*a^2*sin(pi/2-alpha) + a^2 + a^2*cos(pi/2-alpha)^2 )/4) = a/2 * sqrt(2 + 2 * sin(pi/2-alpha)) = a/2 * sqrt(2 + 2*cos(alpha)).

Dále |BS| = sqrt(((a*sin(pi/2-alpha)+a)/2 - a*sin(pi/2-alpha))^2 + ((a*cos(pi/2 - alpha))/2)^2) =
sqrt((a^2 * sin(pi/2 - alpha)^2 - 2*a^2*sin(pi/2-alpha) + a^2 + a^2*cos(pi/2 - alpha)^2 )/4) =
a/2 * sqrt(2 - 2*sin(pi/2 - alpha)) = a/2 * sqrt(2 - 2*cos(alpha))

Nyní ukážeme, že trojúhelník ABS je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu S.
Dle Pythragorovy věty by mělo platit:

a^2 = (a/2 * sqrt(2 + 2*cos(alpha)))^2 + (a/2 * sqrt(2 - 2*cos(alpha)))^2
a^2 = (a^2)/4 * (2 + 2 * cos(alpha)) + (a^2)/4 * (2 - 2*cos(alpha))
a^2 = (a^2)/2 + (cos(alpha) * a^2)/2 + (a^2)/2 * (-cos(alpha) * a^2)/2
a^2 = a^2
0 = 0

U vrcholu S je tedy pravý úhel.

Z podobnosti trojúhelníků plyne, že úhlopříčky u1 a u2 se půlí a jsou vůči sobě ortogonální (kolmé).

Z kosinovy věty dále plyne, že délka úhlopříčky AC u2 je:


u2 = sqrt(2*a^2 - 2*a^2*cos(pi - alpha))
u2 = a * sqrt(2 - 2*cos(pi - alpha))

z kosinovy věty je délka úhlopříčky u1 rovna:

u1 = sqrt(2*a^2 - 2*a^2*cos(alpha))
u1 = a * sqrt(2 - 2*cos(alpha))

Ze součtu vnitřních úhlů vyplývá, že úhlopříčky dělí úhel u vrcholů, z nichž vychází, na polovinu.
Proto lze vypočítat vzdálenost středu kosočtverce S od všech stran následovně:

Vzdálenost bodu S od strany AB:

Počítáme délku úsečky |ST|, strany trojúhelníku AST, kde T je bod ležící na úsečce AB tak, že trojúhelník AST je pravoúhlý.
sin(alpha/2) = |ST|/(u2/2)
(u2/2) * sin(alpha/2) = |ST|
|ST| = (a * sqrt(2 - 2*cos(pi - alpha)))/2 * sin(alpha/2)

Počítáme délku úsečky |SU|, strany trojúhelníku SUB, kde U je bod ležící na úsečce BC tak, že trojúhelník SUB je pravoúhlý.
sin((pi-alpha)/2) = |SU|/(u1/2)
|SU| = (u1/2) * sin((pi-alpha)/2)
|SU| = (a * sqrt(2 - 2*cos(alpha)))/2 * sin((pi-alpha)/2)

Počítáme délku úsečky |SV|, strany trojúhelníku SCV, kde V je bod ležící na úsečce CD tak, že trojúhelník SCV je pravoúhlý.
sin(alpha/2) = |SV|/(u2/2)
(u2/2) * sin(alpha/2) = |SV|
|SV| = (a * sqrt(2 - 2*cos(pi - alpha)))/2 * sin(alpha/2)

Počítáme délku úsečky |SW|, strany trojúhelníku SDW, kde W je bod ležící na úsečce DA tak, že trojúhelník SDW je pravoúhlý.
sin((pi-alpha)/2) = |SW|/(u1/2)
|SW| = (u1/2) * sin((pi-alpha)/2)
|SW| = (a * sqrt(2 - 2*cos(alpha)))/2 * sin((pi-alpha)/2)

Zřejmě |SW| = |SU| a |ST| = |SV|.
Nyní dokažme, že rovněž |SU| = |ST|

|SU| = |ST|
(a * sqrt(2 - 2*cos(alpha)))/2 * sin((pi-alpha)/2) = (a * sqrt(2 - 2*cos(pi - alpha)))/2 * sin(alpha/2)

Jelikož a>0, můžeme dělit

sqrt(2 - 2*cos(alpha)) * sin((pi-alpha)/2) = sqrt(2 - 2*cos(pi - alpha))) * sin(alpha/2)

Jelikož 0 < alpha < pi/2, bude výsledek funkce sinus v našem případě vždy kladný. Výsledek funkce druhá odmocnina je rovněž vždy kladný, tudíž můžeme rovnici umocnit.

(2 - 2*cos(alpha)) * sin((pi-alpha)/2)^2 = (2 - 2*cos(pi-alpha)) * sin(alpha/2)^2
(2 - 2*cos(alpha)) * cos(alpha/2)^2 = (2 - 2*cos(pi-alpha)) * (1/2 - cos(alpha)/2)
(2 - 2*cos(alpha)) * cos(alpha/2)^2 = (2 + 2*cos(alpha)) * (1/2 - cos(alpha)/2)
2*cos(alpha/2)^2 - 2*cos(alpha)*cos(alpha/2)^2 = 1 - cos(alpha) + cos(alpha) - cos(alpha)^2
2*cos(alpha/2)^2 - 2*cos(alpha)*cos(alpha/2)^2 = sin(alpha)^2
cos(alpha) + 1 - cos(alpha) - cos(2*alpha)/2 - 1/2 = sin(alpha)^2
sin(alpha)^2 + cos(alpha)^2 - (cos(alpha)^2 - sin(alpha)^2)/2 - 1/2 = sin(alpha)^2
cos(alpha)^2 - (cos(alpha)^2 - sin(alpha)^2)/2 - 1/2 = 0
cos(alpha)^2 - cos(alpha)^2 = 0
0 = 0

Z tranzitivity relace ekvivalence plyne, že vzdálenost bodu S od všech stran kosočtverce je stejná.

Dokázali jsme, že vzdálenost od středu kosočtverce S ke všem stranám kosočtverce je stejná. Z toho plyne, že je možné sestrojit kružnici k se středem v bodě S a s poloměrem (a * sqrt(2 - 2*cos(alpha)))/2 * sin((pi-alpha)/2), která bude kružnicí vepsanou kosočtverci.
Z toho také plyne, že kosočtverec má jen jedinou výšku, neboť výška musí být rovna právě průměru vepsané kružnice.
| Nahlásit
Je až neuvěřitelné, kolik matematiky lze vymyslet kolem 3-řádkového výpočtu rovnoramenného trojhelníku.
| Nahlásit
@Anonym Cunyvar

:D to je dobrá poznámka. Určitě bychom toho ale navymýšleli ještě spoustu.
Mě Anonym Disynoq naopak přivedl na otázku, kolik matematiky je vlastně právě akorát pro takový příklad a jestli bylo její množství v původním postupu skutečně nedostatečné kvůli nedokázaným předpokladům.
No, snad si původní tazatel vybere, co bude potřebovat.
| Nahlásit
Kdyby ta úhlopříčka byla zadána obecně a ne jako konkrétní číslo, tak tyto výpočty mají smysl.

Hned poté, co to spočítá, pak může napsat výsledek do tabulek, takže těch dalších 100 miliónů lidí nebude muset dokazovat, že kosočtverec má jen jednu výšku a rovnostranný trojúhelník 26-26-20 existuje jen jeden.
 Anonym
Odpovídat lze i bez registrace. Dodržujte pravidla Ontoly
Vložit: Obrázek