Pi jako součet řady zlomků - proč to platí?

Anonym Kunybej16.08.2021 07:03 Nahlásit

Proč platí ta rovnost na obrázku? To jistě není náhoda - jak spolu souvisí to, že Pí je poměr obvodu kružnice k jejímu průměru, a ta řada?

Odpovědi

Přidat odpověď ▾

Diskuze

Anonym Jaqycal16.08.2021 11:22 Nahlásit

Kdybychom do jmenovatele nedávali jen lichá čísla ale všechna přirozená čísla, byl by součet řady myslím ln(2). Také nevidím žádnou zjevnou souvislost.

Anonym Sinuryb17.08.2021 09:46 Nahlásit

Souvisí to s rozvojem funkce arctg(x) v Taylorovu řadu se středem v bodě x = 0:

arctg(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...

což pro x = 1 dá:

arctg(1) = π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

Podobně řada vzpomenutá kolegou Jaqycal plyne z rozvoje funkce ln(1+x) v řadu.

Přidat komentář do diskuze ▾