Všechny to jsou stejné příklady. Myšlenka je pořád ta samá. Jestliže je bod T dotykem tečny a kružnice, tak je bodem jak na tečně, tak i na kružnici, tedy jeho souřadnice [x,y] vyhovují jak rovnici přímky, tak i kružnice.
Ukázka:
> Z bodu M [5,2]vedte tečny ke kružnici k: (x-3)^2 +(y+12)^2 = 100
Rovnice obecné přímky t:
y = kx + q (můžeš ale klidně použít i tu ax + by + c = 0)
Víme, že M náleží t, dosadíme hodnoty x,y bodu M
2 = k.5 + q
q = 2 - 5k
y = kx + (2-5k)
Bod T má souřadnice [x; kx+(2-5k)] a leží na kružnici (x-3)^2 +(y+12)^2 = 100
Po dosazení:
(x-3)^2 + [(kx+(2-5k))+12]^2 = 100
(x-3)^2 + [kx - (5k-14)]^2 = 100
x^2-6x+9 + k^2.x^2 -2.kx(5k-14) + (5k-14)^2 = 100
(k^2+1).x^2 - 6x + 9 - (10k^2 - 28k).x + 25k^2 - 140k + 196 - 100 = 0
(k^2+1).x^2 - (10k^2 - 28k + 6).x + (25k^2 - 140k + 105) = 0
To je parametrická kvadratická rovnice pro proměnnou x s parametrem k.
diskriminant kvadr.rce:
D = b^2-4ac
D = (10k^2 - 28k + 6)^2 - 4.(k^2+1).(25k^2 - 140k + 105)
D = [10k^2 - (28k - 6)]^2 - 4.(k^2+1).(25k^2 - 140k + 105)
D = 100k^4 - 2.10.k^2.(28k - 6) + (28k - 6)^2 - 100k^4 + 560k^3 - 420k^2 - 100k^2 + 560k - 420
D = -560k^3 + 120k^2 + 784k^2 - 336k + 36 + 560k^3 - 420k^2 - 100k^2 + 560k - 420
D = 384k^2 + 224k - 384
Protože tečna protíná kružnici jen v jednom bodě, musí být D = 0.
384k^2 + 224k - 384 = 0
zkrátit 4ma
96k^2 + 56k - 96 = 0
zkrátit 8ma
12k^2 + 7k - 12 = 0
D = 7^2 + 4.12.12 = 49+576 = 625 = 25^2
k1,2 = (-7 +/- 25)/(2.12)
k1 = 18/24 = 3/4
k2 = -32/24 = - 4/3
Tečny mají rovnice:
y = (3/4).x + (2-5.(3/4))
y = (3/4).x - 7/4
a
y = -(4/3).x + (2-5.(-4/3))
y = -(4/3).x + 26/3
Graf z WolframAlpha ukazuje řešení.
https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+%28x-3%29%5E2+%2B%28y%2B12%29%5E2+%3D+100%2C+y+%3D+%283%2F4%29x+-+7%2F4%2C+y+%3D+-%284%2F3%29x+%2B+26%2F3
Ostatní úlohy jsou obdobné. Dosazuje se rovnice přímky do rovnice kružnice, řeší se soustava rovnic a kouká se, kolik podle diskriminantu vypadává z kvadr.rovnice řešení.
