Má se dokázat, že 2ab+2bc+2ac je menší nebo rovno 24? Dále víme, že a+b+c=6. Vím, že a2+b2+c2 je větší nebo rovno 12, ale nevím, co dál...
Řešení (jedno z možných)
Rovnice si označíme:
2ab+2bc+2ac ≤ 24 (1)
a+b+c=6 (2)
a^2 + b^2 + c^2 ≥ 12 (3)
Zatím pracujeme jen s (2)a(3), o kterých víme, že platí.
a+b+c=6
a^2 + b^2 + c^2 ≥ 12
Z rovnice a+b+c = 6 si vyjádříme například: a = 6 – b – c
a dosadíme do: a^2 + b^2 + c^2 ≥ 12
(6 – b – c)^2 + b^2 + c^2 ≥ 12
36 – 12b + b^2 – 12c + 2bc + c^2 + b^2 + c^2 ≥ 12
A nějak libovolně ale vhodně seřadíme.......
36 + 2b^2 – 12b + 2bc – 12c + 2c^2 ≥ 12
2b^2 – 12b + 2bc – 12c + 2c^2 ≥ –24 / * (–1)
– 2b^2 + 12b – 2bc + 12c – 2c^2 ≤ +24 označíme (4)
Nyní upravíme rovnici (1), jejíž platnost chceme dokázat.
Dosadíme do ní za "a" z rovnice (2): a = 6 – b – c
2(6 – b – c )b + 2bc + 2(6 – b – c)c ≤ 24
12b – 2cb + 2bc + 12c – 2bc – 2c^2 ≤ 24
– 2b^2 + 12b – 2bc + 12c – 2c^2 ≤ 24 označíme (5)
Dáme pod sebe rovnice (4)a(5) provedeme porovnání jednotlivých členů.
– 2b^2 + 12b – 2bc + 12c – 2c^2 ≤ 24 (4) upravená (3)
– 2b^2 + 12b – 2bc + 12c – 2c^2 ≤ 24 (5) upravená (1)
Rovnice jsou stejné.
