Kuželosečky - kružnice
Dobrý den, nevím si rady s příklady, mohl by jste mi, prosím, někdo pomoci s jejich vyřešením?
1. Napište rovnici množiny všech bodů, které mají od bodu C(4;7) třikrát větší vdzálenost než od bodu D(8;-1). Ukažte, že touto množinou je kružnice, určete její střed a poloměr.
2. Ukažte, že kružnice (x-2)2 + (y+1)2 = 25 prochází bodem M(-1;-5). Najděte bod M´ souměrně sdružený k bodu M podle středu kružnice a ukažte, že také leží na této kružnici.
3. Ukažte, že kružnice z úlohy 2. je množinou všech bodů, které mají od bodu A(-4;-9) dvakrát větší vzdálenost než od bodu B(1/2;-3).
4. Ukažte, že rovnicí x2 + y2 + 6x - 8y - 39 = 0 je dána kružnice. Napište rovnici kružnice soustředné, která prochází počátkem soustavy souřadnic.
Předem děkuji za odpovědi!
1. Napište rovnici množiny všech bodů, které mají od bodu C(4;7) třikrát větší vdzálenost než od bodu D(8;-1). Ukažte, že touto množinou je kružnice, určete její střed a poloměr.
2. Ukažte, že kružnice (x-2)2 + (y+1)2 = 25 prochází bodem M(-1;-5). Najděte bod M´ souměrně sdružený k bodu M podle středu kružnice a ukažte, že také leží na této kružnici.
3. Ukažte, že kružnice z úlohy 2. je množinou všech bodů, které mají od bodu A(-4;-9) dvakrát větší vzdálenost než od bodu B(1/2;-3).
4. Ukažte, že rovnicí x2 + y2 + 6x - 8y - 39 = 0 je dána kružnice. Napište rovnici kružnice soustředné, která prochází počátkem soustavy souřadnic.
Předem děkuji za odpovědi!
Odpovědi
Diskuze
rovnice kružnice:
(x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2
stanovíme v rovině obecný bod A(x,y)
dle zadání musí být vektor:
AC=C-A=C(4,7) - A(x,y) = (4-x,7-y)
AD=D-A=D(8,-1) - A(x,y) = (8-x,-1-y)
mělo by platit dle zadání, že vzdálenost:
|AC|=3*|AD|
|AC|*|AC|=3*|AD|*3*|AD|
|AC|*|AC|=3*|AD|*3*|AD|
|AC|*|AC|=9*|AD|*|AD|
(4-x)*(4-x) + (7-y)*(7-y)=9*(8-x)*(8-x) + 9*(-1-y)*(-1-y)
(16-8x+x*x) + (7*7-2*7y+y*y) = 9*(64-16x+x*x) + 9*(1+2y+y*y)
(16-8x+x*x) + (7*7-2*7y+y*y) = (9*64-9*16x+9*x*x) + (9+9*2y+9*y*y)
7 = (9*8-17x+x*x) + (4y+y*y)
4*7-4*9*8 = (4*x*x - 4*17x) + (4*y*y + 4*4y)
4*7-4*9*8 = (4*x*x - 4*17x + 17*17) + (4*y*y + 4*4y + 4) - 17*17 - 4*4
4*7-4*9*8 + 17*17 + 4*4 = (4*x*x - 4*17x + 17*17) + (4*y*y + 4*4y + 4)
4*7-4*9*8 + 17*17 + 4*4 = (2x - 17)^2 + (2y + 2) ^2
45 = (2x - 17)^2 + (2y + 2) ^2 (tak toto je ta hledaná kružnice)
===============================
viz
http://www.wolframalpha.com/input/?i=45+%3D+%282x+-+17%29%5E2+%2B+%282y+%2B+2%29+%5E2
45 = 4*(x - 17/2)^2 + 4*(y + 1) ^2
45/4 = (x - 17/2)^2 + (y + 1) ^2 (jiný tvar)
================================
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%284-x%29*%284-x%29+%2B+%287-y%29*%287-y%29%3D9*%288-x%29*%288-x%29+%2B+9*%28-1-y%29*%28-1-y%29
Dosadíme bod M do rovnice kružnice:
M(-1;-5)
(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25
(-1-2)^2 + (-5+1)^2 = 25
(-3)^2 + (-4)^2 = 25
9 + 16 = 25
25=25
=====
ano bod M leží na kružnici (kdyby vyšla nerovnost nebo nesmysl, bod M by na kružnici neležel)
Jak zjistit bod souměrně sdružený je více možností, jedna z nich je tato:
(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25
střed kružnice je:
(x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2
S(x0,y0)
x0=2
y0=-1
vektor SM = M-S = M(-1,-5) - S(2,-1) = (-3,-4)
bod souměrně sdružený M' bude na opačné straně, čili stačí otočit vektor
M'S = -1 * SM = -1 * (-3,-4) = (3,4)
Bod M
M'S = (3,4) = S-M' = S(2,-1) - M'(x,y)
3=2-x
4=-1-y
x=-1
y=-5
M'(-1,-5)
========
Dalo by se to vyřešit i jinak ...
x2 + y2 + 6x - 8y - 39 = 0
(x2 + 6x + ?) + (y2 - 8y + ?) - 39 = 0
(x2 + 6x + 0) + (y2 - 8y + 0) + 25 -25 - 39 = 0
9+16=25
(x2 + 6x + 9) + (y2 - 8y + 16) = 25 + 39
(x+3)^2 + (y-4)^2 = 64
(x+3)^2 + (y-4)^2 = 8^2
========================
dále se musí vyřešit kružnice procházející bode O(0,0)
(x+3)^2 + (y-4)^2 = (8+z)^2
(0+3)^2 + (0-4)^2 = (8+z)^2
9 + 16 = (8+z)^2
5 = (8+z)
5 - 8 = z
z=-3
----
rovnice kružnice je:
dosadím za z:
(x+3)^2 + (y-4)^2 = (8+z)^2
(x+3)^2 + (y-4)^2 = (8-3)^2
(x+3)^2 + (y-4)^2 = 5^2
========================
(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25
3. Ukažte, že kružnice z úlohy 2. je množinou všech bodů, které mají od bodu A(-4;-9) dvakrát větší vzdálenost než od bodu B(1/2;-3).
A(-4,-9)
B(1/2,-3)
K(x,y) (obecný bod na vyšetřované kružnici)
AK=K-A = K(x,y) - A(-4,-9) = (x+4,y+9)
BK=K-B = K(x,y) - B(1/2,-3) = (x-1/2,y+3)
|AK|*|AK|=(x+4)*(x+4)+(y+9)*(y+9)
|BK|*|BK|=(x-1/2)*(x-1/2)+(y+3)*(y+3)
|AK|=2*|BK|
|AK|*|AK|=2*|BK|*2*|BK|
dosadíme:
|AK|*|AK|=4*|BK|*|BK|
(x+4)*(x+4)+(y+9)*(y+9)=4*(x-1/2)*(x-1/2)+4*(y+3)*(y+3)
(x*x+8x+16) + (y*y+18y+81) = 4*(x*x-x+1/4) + 4*(y*y+6y+9)
po úpravě
0= x*x - 4x + y*y + 2y - 20
ateď z toho uděláme rovnici kružnice:
20= (x*x - 4x) +4-4 + (y*y + 2y) +1-1
20= (x*x - 4x + 4) -4 + (y*y + 2y +1) -1
25= (x*x - 4x + 4) + (y*y + 2y +2)
==================================
25=(x-2)^2 + (y+1)^2 (což se mělo dokázat)
====================