Ontola > Matematika > diskuze
| Nahlásit

Matematika - Stereometrie - Trojboký hranol

Dobré odpoledne, chtěl bych se Vás zeptat, zdali prosím nevíte, jak vypočítat následující příklad prosím? Pravidelný trojboký hranol, jehož všechny hrany jsou shodné, mí povrch 2514 cm2. Určete objem tohoto tělesa v cm3 i v litrech. Předem Vám velice moc děkuji za pomoc
Témata: matematika

8 reakcí

(Upr. 15.01. 18:19) | Nahlásit
Přeji krásný večer, Anonyme Luburesi,

udělal jste si náčrtek? Určitě by vám pomohl.

Máme k dispozici užitečnou informaci, že všechny strany trojbokého jehlanu jsou shodné. Víme, že povrch je součet obsahů všech stěn. Zmíněný trojboký hranol má dvě trojúhelníkové podstavy a tři čtvercové stěny. Hranu označme symbolem a.

Zavedeme si podmínku řešitelnosti a > 0.

Obsah čtverce o straně a je roven a^2, zatímco obsah rovnostranného trojúhelníku o straně a je (a^2 * sqrt(3))/4. Ponechám to arogantně bez důkazu. Důkaz určitě zvládnete sestavit sám.

Sp [povrch] = 3*a^2 + 2*(a^2 * sqrt(3))/4

2514 [cm^2] = 3*a^2 + (a^2 * sqrt(3))/2 [cm^2]
5028 = 6*a^2 + a^2 * sqrt(3)
5028 = a^2 * (6 + sqrt(3))
a^2 = 5028 / (6 + sqrt(3))
a^2 - 5028 / (6 + sqrt(3)) = 0
(a - sqrt(5028 / (6 + sqrt(3))))(a + sqrt(5028 / (6 + sqrt(3)))) = 0

Z podmínek řešitelnosti plyne, že existuje jediné řešení:

a = sqrt(5028 / (6 + sqrt(3))) = 2 * sqrt(1257 / (6 + sqrt(3)))

Nyní musíme vypočítat objem, který je roven součinu obsahu podstavy a výšky hranolu.

Opět zcela nestoudně bez důkazu uvedu, že obsah podstavy je roven (a^2 * sqrt(3))/4 [cm^2], tedy objem hranolu činí (a^3 * sqrt(3))/4 [cm^3].

(a^3 * sqrt(3))/4 = ((2 * sqrt(1257 / (6 + sqrt(3))))^3 * sqrt(3))/4 = 2514/11 * sqrt(419/11 * (90 - 37 * sqrt(3))) [cm^3]

Zjistili jsme tedy, že objem tělesa činí 2514/11 * sqrt(419/11 * (90 - 37 * sqrt(3))) [cm^3]. Zvládnete sám převod na litry?
| Nahlásit
Já se velice omlouvám, ale podle sešitu by měl výsledek vyjíst 7 180 cm krychlových což je 7, 180 litrů, a tady mi vyšel jiný výsledek. Nešlo by to prosím, prosím, nějak jiným způsobem? Velice Vám děkuji a omlouvám se Vám za komplikace.
| Nahlásit
Přeji opět krásný večer, Anonyme Luburesi,

teď nerozumím, kde vám vyšel jiný výsledek. Výsledek, který jsem uvedl já, je přibližně stejný jako 7180 cm^3, avšak vzhledem k zadaným údajům je výrazně přesnější (vlastně je zcela dokonale přesný), neboť je závislý na iracionálním čísle sqrt(3), které prostě nelze zapsat jinak, aby nedošlo k újmě na přesnosti. Zásadně nezaokrouhluji, ale pokud se zaokrouhlením váš příklad počítá, pak je odpověď skutečně 7180 cm^3.
Píšete, že vám vyšel jiný výsledek. Jak jste k němu dospěl? Výše uvádím správný postup krok za krokem, který k uvedenému výsledku vede. Co se týče jiného způsobu řešení, žádný jednodušší mě už nenapadá.
Je mi líto, že jsem vám v tuto chvíli nemohl nijak pomoci, ale pokud upřesníte podstatu problému, s nímž se nyní potýkáte, určitě vám zkusím znovu poradit.
| Nahlásit
Jsem na střední škole, přesněji ve 3. ročníku a tam bereme výpočty pomocí goniometrických funkcí a vzorečků. U vás nerozumím tomu sqrt (3), co to prosím znamená, protože ve škole jsme o tom nemluvili.
(Upr. 15.01. 20:31) | Nahlásit
Milý Anonyme Luburesi,

děkuji za uvedení informace, že jste na střední škole, budu na to myslet při dalších odpovědích. Já jsem sice student 3. ročníku vysoké školy, ale nebojte se, že by zápis sqrt(.) byla nějaká nepochopitelná vysokoškolská záležitost. Rozumím, že na první pohled to je zřejmě velmi matoucí, vůbec jsem si to při psaní odpovědi neuvědomil. Zkusím to vysvětlit co nejsrozumitelněji.

Správně jsem měl před výpočty zadefinovat následující:

sqrt(.) ≜ √(.)

tedy že pokud od tohoto okamžiku použiji zápis sqrt(.), mám tím na mysli √(.), tedy druhou odmocninu z argumentu. Tímto zápisem bych tento „alias“ zadefinoval a platil by dočasně v celém zbytku zprávy/dokumentu. Symbol ≜ značí definici.

Možná by se slušelo vysvětlit, proč tento zápis používám. Jde o to, že symbol √ nemám na klávesnici a nepamatuji si, jak jej jednoduše zapsat, proto jej musím vždy vyhledat na internetu a zkopírovat, kdežto zápis sqrt(.) (z anglického square root, tedy „kořen čtverce“, druhá odmocnina) lze sestrojit pomocí sortimentu, který obvyklá klávesnice nabízí, velmi jednoduše.

Občas ovšem zapomenu notaci sqrt(.) řádně zadefinovat, neboť jsem natolik zvyklý, že jde o obvyklou knihovní funkci v různých programovacích jazycích, že mi hned nedojde, že z matematického hlediska jde bez patřičné definice jen o nestydatý paskvil (vlastně je to slovy klasika „skřek na úrovni jenkýských komiksů“). Nepomáhá tomu ani to, že zápisu sqrt(.) bez problémů rozumí jak google, tak Wolfram alpha a podobné nástroje.

Nahraďte tedy všechny výskyty sqrt(.) za √(.) a vše by mělo být v pořádku.

Výsledek tedy zní: 2514/11 * √(419/11 * (90 - 37 * √(3))) cm^3

Děkuji tedy za pochopení a věřím tomu, že až příště podobný zápis uvidíte, nebude vám už cizí.
| Nahlásit
Velice Vám děkuji za pomoc a za vysvětlení, přeji Vám hezký víkend a ještě jednou Vám moc děkuji
| Nahlásit
Vůbec nemáte zač, přeji rovněž pohodové lednové chvíle.
| Nahlásit
Ještě jedna maličkost: Znáte-li ve fázi dotazu i správné řešení, považuji za účelné je v dotazu uvést. Pak není třeba radit "naslepo".
 Anonym
Odpovídat lze i bez registrace. Dodržujte pravidla Ontoly
Vložit: Obrázek