Matematická indukce
Dokažte matematickou indukcí, že pro všechna přirozená čísla n platí:
1+3+5+....+ (2n-1)=n^2
1. důkaz
L= (2.1-1)=1
P=1^2=1
L=P
2. předpoklad
1+3+5+...+(2k-1)=k^2
3. důkaz
1+3+5...+(2k-1+1)=(k+1)^2
1+3+5...+2k = (k+1)^2
.
.
.
už nevím, jak dál.
1+3+5+....+ (2n-1)=n^2
1. důkaz
L= (2.1-1)=1
P=1^2=1
L=P
2. předpoklad
1+3+5+...+(2k-1)=k^2
3. důkaz
1+3+5...+(2k-1+1)=(k+1)^2
1+3+5...+2k = (k+1)^2
.
.
.
už nevím, jak dál.
Odpovědi
Diskuze
1. Ve třetím kroku máš špatně na levé straně ten k plus první člen, není to (2k-1+1), ale (2(k+1)-1)
2.to 1+3+5... v posledním kroku musíš nahradit tím dokazovaným vzorcem pro k: 1+3+5+....+ (2k-1), takže ta levá strana vypadá: 1+3+5+....+ (2(k+1)-1)
A používal bych všude "n" (a ne "k")
(2(k+1)-1)=(k+1)^2
(2k+2-1)=k^2+2k+1
2k+1=k^2+2k+1
.. mám tam chybu? nevím, co s tím. Jinak děkuju za upozornění na chybu.
1+3+5+... + (2(k+1)-1)=(k+1)^2
Teď místo 1+3+5+... použijeme ten vzorec k^2 (to můžeme, protože předpokládáme, že pro "k" platí, a teď ho musíme dokázat pro "k+1"). Takže:
k^2 + (2(k+1)-1)=(k+1)^2
k^2 + 2k + 2 - 1 = k^2 + 2k + 1
k^2 + 2k + 1 = k^2 + 2k + 1