Kombajny, úloha z matematiky
Hello. Dvěma různě výkonnými kombajny byly při jejich současném provozu za 1 směnu sklizeny brambory z pozemku s výměrou 6,6 ha. Výměru pozemku, ze které byl schopen sklidit brambory méně výkonný kombajn za 6 směn, sklidil výkonnější kombajn za 5 směn. Určete výměru pozemku, z něhož byl schopen sklidit brambory za 1 směnu a) méně výkonný kombajn, b) výkonnější kombajn?
Prosím, vypočítat pomocí soustavy 2 rovnic se 2 neznámými. Thank you.
Prosím, vypočítat pomocí soustavy 2 rovnic se 2 neznámými. Thank you.
Odpovědi
Diskuze
zavedeme příslušné neznámé
K1 [m^2] [výměra, kterou sklidí za hodinu méně výkonný kombajn]
K2 [m^2] [výměra, kterou sklidí za hodinu výkonnější kombajn]
S = 66000 m^2 [plocha pole]
Z uvedeného víme, že
K1 = K2 * 5/6
K1 + K2 = 66000
Tedy
K1 - 5/6 * K2 = 0
K1 + K2 = 66000
Budeme tedy řešit soustavu lineárních rovnic s maticovým zápisem:
Ax = b
kde
[1 -5/6]
[1 1] = A
x = [K1 K2]^T
b = [0 66000]^T
Nejprve si ověříme, zda matice A není singulární.
det(A) = 1 + 5/6 = 11/6
Zjistili jsme, že matice je regulární, pročež existuje jediné řešení soustavy lineárních rovnic.
Řešíme dále pomocí Cramerova pravidla:
det(Ak1) = 55000
det(Ak2) = 66000
Tedy
K1 = det(Ak1)/det(A) = 55000/(11/6) = 30000 m^2
K2 = det(Ak2)/det(A) = 66000/(11/6) = 36000 m^2
Za jednu směnu méně výkonný kombajn sklidí 30000 m^2 plochy pole, zatímco výkonnější kombajn sklizí 36000 m^2 plochy pole.
V pořádku?
K1 = K2 * 5/6
K1 + K2 = 66000
Zase si můžeme upravit obě rovnice tak, aby vždy na jedné straně bylo K1
K1 = K2 * 5/6
K1 = 66000 - K2
Toto je zřejmé? Paráda. Víme, že K1 se rovná samo sobě, takže můžeme psát
K1 = K1
A každou stranu nahradíme za pravou stranu jiné z rovnic, protože ty se obě rovnají K1.
66000 - K2 = K2 * 5/6
Tomuto rozumíme? Výrobně, teď vyjádřeme K2
66000 = 11/6 * K2
K2 = 36000
Teď vypočítáme K1:
K1 = 66000 - K2
K1 = 30000
Toto je už jasné?