Čím se liší komplexní čísla od čísel reálných?
Má to být debata tak nějáke otázky a popřídně odpovědi by mi pomohli.Díky
Odpovědi
Diskuze
Komplexní čísla jsou ve skutečnosti dvojice čísel, které se píše jako součet obyčejného reálného čísla (a) a násobku imaginární jednotky (b), která se značí i:
a + bi
Imaginární jednotka je rovna druhé odmocnině z -1. Odmocnina z -1 nelze v oboru reálných čísel vyjádřit, proto se zavádí imaginární jednota a vlastně celé komplexní čísla se zavedla proto, aby se mohly vyjádřit všechny řešení algebraických rovnic (vysvětlení, co je to algebraická rovnice - cs.wikipedia.org/wiki/Algebraick%C3%A1_rovnice#Algebraick.C3.A9_a_nealgebraick.C3.A9_rovnice)
O komplexních číslech víc na Wikipedii - cs.wikipedia.org/wiki/Komplexn%C3%AD_%C4%8D%C3%ADslo
Proč byla zavedena komplexní čísla?
Co je to imaginární jednotka?
Jak se zobrazují komplexní čísla geometricky?
Jak se provádějí základní operace s komplexními čísly?
......
sqrt(x) znamená odmocnina z "x", například sqrt(9) = 3.
x^2 znamená "x na druhou", x^3 znamená "x na třetí",...prostě ten zobáček značí mocninu.
Např 2^4 = 16.
Znak * znamená násobení.
Velké písmeno ve vzorečku znamená nějaké číslo.
i označuje imaginární jednotku.
Znaky psané malým písmenem jsou proměnné.
Některé zákonitosti v přírodě se dají matematicky vyjádřit jako polynom.
Například A*x^3 + B*x^2 + C*x je polynom třetího stupně (obsahuje třetí mocninu). Důležité je umět nalézt kořeny polynomu. To se dělá tak, že se polynom položí rovno nule a výsledná rovnice se vyřeší. Všichni jsme to dělali na základce s polynomem druhého stupně. Hledání kořenů u polynomu druhého stupně je stará známá kvadratická rovnice. A*x^2 + B*x + C = 0 Když hledáme řešení, tak se vlastně ptáme: Pro která x ta rovnice platí? Při řešení kvadratické rovnice se první našel diskriminat D = B^2 - 4*A*C, když ten vyšel záporný, tak jsme prohlásili, že řešení neexistuje. Ale přesnější odpověď je "řešení neexistuje nad reálnými čísly". Například x^2 + 1 = 0,
vidíme, že diskriminant pro A = 1, B = 0, C = 1 vyjde D = 0^2 -4*1*1 = -4 ...a vida, záporný diskriminant. A opravdu, když chceme rovinice upravit, tak získáme x = sqrt(-1) a to je kámen úrazu, my nevíme kolik je odmocnina z mínus jedné. V reálných číslech nic jako odmocnina z -1 neexistuje. Někoho chytrého kdysi napadlo zavést speciální symbol "i" a ten by byl definovaný prostě tak, že i^2 = -1. A teď už řešení rovnice máme: x = sqrt(-1) = i. A tedy rovnice nemá řešení nad reálnými čísly, ale nad komplexními čísly řešení má a je rovno i. Komplexní čísla se zapisují ve tvaru A + B*i, ale většinou se znak násobení nepíše a tedy "A + Bi", ale já tam tu hvězdičku pro přehlednost psát budu. Tomu A se říká reálná část a tomu B se říká imaginární část komplexního čísla. Když je A rovno nule a imaginární číslo tedy vypadá jako "B*i", říkáme o něm, že je ryze imaginární. Když je B rovno nule, pak se vlastně o komplexní číslo nejedná, je to reálné číslo A.
Geometricky se komplexní čísla zapisují do dvojrozměrného souřadnicového systému:
plus.maths.org/issue28/features/sautoy/imaginary.jpg
Na svislou osu se nanáší hodnota B, na vodorovnou hodnota A.
Komplexní čísla lze sčítat:
(A + B*i) + (C + D*i) = (A+C) + (B+D)*i
podobně odečítat, a taky násobit:
(A + B*i) * (C + D*i) = A*C + (A*D + B*C)*i + B*D*i^2 = (A*C - B*D) + (A*D + B*C)*i.
Je to vlastě obyčejné roznásobení dvou závorek, jen se na závěr využije fakt, že i^2 = -1.
Existuje i podíl komplexních čísel, ale je to komplikované.