jak prosím vyřešit rovnici s parametrem m-24x+2mx^2+3+2x^2=0

musíš zvolit parametr: m

Lžeš, Cenobito!!! To je neuvěřitelný blábol, co radíš.

Přeji pěkný večer, Anonyme Xalyribe,

kvadratickou rovnici můžeme obecně zapsat ve tvaru

ax^2 + bx + c = 0

Pro začátek je vhodné použít ekvivalentní úpravy k přeuspořádání parametrické rovnice tak, abychom mohli snáze vyjádřit kvadratický, lineární i absolutní člen rovnice.

m - 24x + 2mx^2 + 3 + 2x^2 = 0
2mx^2 + 2x^2 - 24x + m + 3 = 0
(2m + 2)x^2 - 24x + (m + 3) = 0
ax^2 + bx + c = 0

Všimněte si, že v případě parametrické rovnice je v koeficientech a, b a c zahrnutý i parametr, tedy
a = 2m + 2
b = -24
c = m + 3

Rovnici řešíme pomocí diskriminantu jako jakoukoli jinou kvadratickou rovnici:

D = b^2 - 4*a*c
D = (-24)^2 - 4 * (2m + 2) * (m + 3)

x1 = (-b - sqrt(D))/2a
x2 = (-b + sqrt(D))/2a

Všimněme si, že dělíme koeficientem a, kde platí a = 2m + 2.
V případě, že m = -1, nelze rovnici řešit uvedeným způsobem. V tento okamžik musíme rozdělit řešení do dvou větví, které je třeba řešit zvlášť. Pozor, rozhodně nelze v tuto chvíli tvrdit, že pro m = -1 řešení neexistuje.

1. m = -1

Dosadíme m do původní rovnice s parametrem:

m - 24x + 2mx^2 + 3 + 2x^2 = 0
-1 - 24x + 2 * (-1) * x^2 + 3 + 2x^2 = 0
2 - 24x = 0
x = 1/12

Víme tedy, že pokud m = -1, pak existuje jediné řešení rovnice x = 1/12.
Nyní se přesuneme k řešení druhé větve.

2. m ≠ -1

Pro osvěžení paměti uvedu, že řešíme

x1 = (-b - sqrt(D))/2a
x2 = (-b + sqrt(D))/2a

pro

a = 2m + 2
b = -24
c = m + 3
D = (-24)^2 - 4 * (2m + 2) * (m + 3)

Nyní musíme rozdělit řešení na další tři větve, neboť operujeme s odmocninou a musíme nutně zajistit, abychom neodmocňovali záporné číslo. Rovněž víme, že pro kladný diskriminant budou řešení dvě a pro nulový diskriminant pouze jedno.
Řešíme tedy nerovnici

D < 0,

abychom zjistili, kdy je diskriminant záporný

D < 0
(-24)^2 - 4 * (2m + 2) * (m + 3) < 0
576 - 8m^2 - 32m - 24 < 0
m^2 + 4m - 69 > 0

Rozložíme na součin

(m + 2 - sqrt(73))*(m + 2 + sqrt(73)) > 0

Jelikož víme, že nulové body jsou m1 = -2 + sqrt(73) a m2 = -2 - sqrt(73), lze jednoduše určit, že diskriminant bude záporný v intervalech
(-∞, -2 - sqrt(73)) ∪ (-2 + sqrt(73), ∞)

Výpočet rozdělíme do tří dalších větví (máme na paměti, že se právě pohybujeme ve větvi m ≠ -1, což je podmínka, která bude platit ve všech následujících větvích)

2a. m ∈ (-∞, -2 - sqrt(73)) ∪ (-2 + sqrt(73), ∞)

Tedy interval, kde je diskriminant původní rovnice záporný.

Z původní rovnice

(2m + 2)x^2 - 24x + (m + 3) = 0

je zřejmé, že pro všechna uvedená m zůstane rovnice rovnicí kvadratickou (na lineární degeneruje jen pro m = -1), tudíž při dosazení libovolného m ∈ (-∞, -2 - sqrt(73)) ∪ (-2 + sqrt(73), ∞) povede rovnice na řešení pomocí diskriminantu. Víme, že pro všechny tyto hodnoty je diskriminant záporný, tedy řešení v reálných číslech neexistuje pro žádné m z uvedeného intervalu.
Přesouváme se do druhé větve

2b. m ∈ ( -2 - sqrt(73), -2 + sqrt(73) )

Tedy interval, kde je diskriminant původní rovnice kladný.

Současně máme na paměti, že v této větvi m ≠ -1.

Řešili jsme následující:

x1 = (-b - sqrt(D))/2a
x2 = (-b + sqrt(D))/2a

pro

a = 2m + 2
b = -24
c = m + 3
D = (-24)^2 - 4 * (2m + 2) * (m + 3)

Z předchozích výpočtů triviálně plyne, že D = 4*(-2m^2 - 16m + 138)

x1 = (24 - sqrt(4*(-2m^2 - 16m + 138)))/(4m + 4) = (12 - sqrt(-2m^2 - 16m + 138))/(2m + 2)
x2 = (24 + sqrt(4*(-2m^2 - 16m + 138)))/(4m + 4) = (12 + sqrt(-2m^2 - 16m + 138))/(2m + 2)

Přesouváme se do další větve, kde je diskriminant nulový.

2c. m ∈ {-2 - sqrt(73), -2 + sqrt(73)}

Tedy množina dvou hodnot, kde je diskriminant nulový.

x = -b/2a
x = 12/(2m + 2) = 6/(m + 1)


Dospěli jsme k následujícímu řešení rovnice:

Pro m = -1 existuje jediné řešení x:

x = 1/12

Pro m ∈ (-∞, -2 - sqrt(73)) ∪ (-2 + sqrt(73), ∞) neexistuje žádné řešení x

Pro každé m ∈ ( -2 - sqrt(73), -1) ∪ (-1, -2 + sqrt(73) ) existují dvě řešení x:

x1 = (12 - sqrt(-2m^2 - 16m + 146))/(2m + 2)
x2 = (12 + sqrt(-2m^2 - 16m + 146))/(2m + 2)

Pro každé m ∈ {-2 - sqrt(73), -2 + sqrt(73)} existuje právě jedno řešení x:

x = 6/(m + 1)

Předpokládejme, že jsme rovnici řešili na oboru reálných čísel.

Snad je to všechno v pořádku!