Ontola > diskuze
| Nahlásit

Komolý kužel

Popište postup rozvinu rotačního komolého kuželu,znáte li průměr spodní kruhové podstavy,60 cm,vrchní průměr 40 cm a výška 27 cm.
Témata: Nezařazené

8 reakcí

(Upr. 06.02.2017 19:30) | Nahlásit
Úlohu je možné řešit geometricky, nebo výpočtem.

Zde je geometrický postup:

http://marian.fsik.cvut.cz/~kongo/download/pm/rozv_plochy_1.pdf

Rozvinutý plášť rotačního kužele je výsek mezikruží. Nejprve je potřeba vypočítat délku spádové přímky: "s" z Pythagorovy věty. Výpočtem je možné spočítat poloměry částí kružnic R1, R2, které tvoří plášť po rozvinutí a úhel α. Je na to vzorec, zde je jeho odvození, na netu jsem ho nenašel:

Pro konstrukci rozvinutého pláště pomocí výpočtu je nutné vypočítat: R1,R2,α :

s - spádová přímka
r1 - poloměr spodní podstavy
r2 - poloměr horní podstavy
R1 - poloměr (spodní podstavy) pláště po rozvinutí
R2 - poloměr (horní podstavy) pláště po rozvinutí

spádová přímka:

R1-R2=s

Pythagorova věta:

(r1-r2)² + h² = s²; (1. rovnice)
(r1-r2)² + h² = (R1-R2)²; (1. rovnice)

obvod podstavy je roven délce oblouku po rozvinutí:

o1=l1
o2=l2

l1=R1*α
l2=R2*α

o1=2π*r1
o2=2π*r2

---řešením:

2π*r1=R1*α
2π*r2=R2*α

α=α

2π*r1/R1=2π*r2/R2

r1/R1=r2/R2 (2. rovnice)

(r1-r2)² + h² = s² (1. rovnice)
(r1-r2)² + h² = (R1-R2)²; (1. rovnice)

---

(r1-r2)² + h² = (R1-R2)²
√((r1-r2)² + h²) + R2 = R1
√((r1-r2)² + h²) + (r2/r1 * R1) = R1

R1 = √((r1-r2)² + h²) / (1 - r2/r1)
====================================
R1 = r1*√((r1-r2)² + h²) / (r1 - r2)

β - 1/2 vrcholového úhlu

sin(β) = (r1 - r2) / √((r1-r2)² + h²)

β = arcsin( (r1 - r2) / √((r1-r2)² + h²) )

R1 = r1/sin(β)
==============

R2=r2/r1 * R1

R2=r2/r1 * √((r1-r2)² + h²) / (1 - r2/r1)
==========================================

R2 = r2/sin(β)
==============

α = 2π*r1/R1
α = 2π*r1 * (1 - r2/r1)/√((r1-r2)² + h²)

α = 2π*(r1 - r2)/√((r1-r2)² + h²)
=================================

α = 2π*(r1 - r2)/s
α = 2π*sin(β)

β - je 1/2 vrcholového úhlu rotačního kužele

---

R1 = √((r1-r2)² + h²) / (1 - r2/r1)
R1 = ((30-20)@ + 27@)i@ / (1 - 20/30) = 86,377080293327812852430263949705 cm
===

R2 = r2/r1 * √((r1-r2)² + h²) / (1 - r2/r1)
R2 = 20/30 * ((30-20)@ + 27@)i@ / (1 - 20/30) = 57,584720195551875234953509299804 cm
===

α = 2π*(r1 - r2)/√((r1-r2)² + h²)
α = 2*P*(30 - 20)/((30-20)@ + 27@)i@ = 2,1822404574833482886441775281194 rad
===
Jiné značení
Jiné značení
| Nahlásit
Ten vrcholovej úhel kuželu spočteš jako 2arctan(((D-d)/2)/v)=2arctan(((60-40)/2)/27)=40.64627366°

Potom R=(D/2)/sin(alfa/2)=30/sin(20.32313683°)=86,37708029 cm

Potom platí že úhel β kruhový výseče o poloměru R β=2Π*sin(alfa/2)=6,283185307*sin(20,32313683°)=2,182240458 rad

Viz obrázek
| Nahlásit
Páni vy jste se teda rozjeli,to jsem nečekal.
| Nahlásit
V knížce Konstrukce rozviny a střihy výrobků z plechu z roku 2000 jsem našel ještě tohle:
| Nahlásit
Cenobito ještě to budeš muset opravit neboť r2 máš jako rozdíl r1-r2=10 r2 je přeci 40/2=20 cm

R2 Lze také spočíst jako r2/sin(20.32313683°)=57,58472019 cm
(Upr. 07.02.2017 03:12) | Nahlásit
Anonym Tarykeh: chyba kóty opravena - díky.
| Nahlásit
Pánové matematici, je hezké že se tak vyžíváte v matematice, ale proč tak složitě, aplikace rovnic za každou cenu? Získávat s a R1 přes Pythagora, mocniny, odmocniny, úplně zbytečně, když máme všemocný tangens. Takže: β/2 získám úplně jednoduše tg(β/2)=(r1-r2)/h.

β/2=arctg(r1-r2/h).

Pozn.: (pro praktiky co jdou zítra stříhat plech) Na kalkulačce není arctg, je třeba zaškrtnout "Inv" a následne se "tan" chová jako arctg.

Malé s ke konstrukci pláště vůbec nepotřebuji, spočítám rovnou R1:

R1=r1/sin(β/2).

Stejnětak rovnou R2:

R2=r2/sin(β/2).

Zbývá ještě úhel alfa. Pokud se jako sedlák či selka chci vyhnout rovnicím, spočítám si obvod podstavy o1=2*r1*pí a obvod kruhu velké kruhové úseče O1=2*R1*pí. Podíl obvodů o1/O2 mi určí kruhovou výseč, vynásobím 360° a mám alfa. Ani nemusím psát rovnici, abych viděl, že příště mohu rovnou počítat takto:

alfa=r1/R1*360.

Co ještě potřebuji? Nic, aha. Zítra múžu stříhat plech a stáčet kužel, popsal jsem sotva jeden žlutý nalepovací lístek.
| Nahlásit
Pardon, pardon, v zápisu prvního vzorce je chybka - β/2=arctg(r1-r2/h) - zapomenuté závorky.

Má to být takto:

β/2=arctg((r1-r2)/h).

Uff.
 Anonym
Odpovídat lze i bez registrace. Dodržujte pravidla Ontoly
Vložit: Obrázek