Matematická hříčka na dnešek
Dokažte, že žádné číslo z řady 1/3, 2/5, 3/7, 4/9, 5/11, ... nebude větší než 1/2.
:)
Odpovědi
Diskuze
Napadl by někoho ještě nějaký další způsob, jak to dokázat?
lim n/(2*n + 1) = ? ...pro "n" jdoucí k nekonečnu.
Lze použít L'Hopitalovo pravidlo, to znamená, že se na výraz "n/(2*n + 1)" díváme jako na funkce a zderivujeme to co je nad zlomkovou čárou i to co je pod ní a výsledek musí mít stejnou limitu.
n' = 1
(2*n + 1)' = 2
-----
lim n/(2*n + 1) = lim n'/(2*n + 1)' = lim 1/2 = 1/2
A že je rostoucí se ukáže tak, že se vezme (n+1) člen posloupnosti a od něj se odečte n-tý člen posloupnosti:
(n+1)/(2*(n+1) + 1) - n/(2*n + 1)
Když to upravíš, tak dostaneš 1/[(2*n+3)*2*n+1] a to je větší než nula pro libovolné "n".
Proto je (n+1) prvek větší než n-tý a protože to platí pro libovolné "n", je celá posloupnost rostoucí.
Poslouplost:
1/3, 2/5, 3/7, 4/9, 5/11
n-tý člen posloupnosti:
n/(2n+1)
je vidět, že jmenovatel je vždy dvojnásobný než čitatel (a zvětšený o jedničku)
Takže bude zlomek/výraz vždy o něco menší než 1/2 (za to může ta +1), protože jinak by muselo být: n/(2n) ~ 1/2
A protože je jmenovatel vždy o něco větší než čitatel - konverguje zlomek/výraz n/(2n+1) k 1/2
Je fakt, že libovolný prvek posloupnosti "n/(2*n + 1)" nebude větší než 1/2, jak jsem, psal v prvním příspěvku, nevím proč to dokazovat ještě dalším způsobem.
Proč to neudělat úplně primitivně (třeba proto, aby ten důkaz byl přístupný i žákům bez znalostí posloupností a limit, Uphillmane). Prostě odečtu:
1/2 - n/(2n+1) = ... = 1/(4n+2)
což je kladné pro každé přirozené n a z toho rovnou plyne
1/2 > n/(2n+1)
Anebo ještě jednodušeji:
ve zlomku n/(2n+1) vydělím čitatel i jmenovatel n (což můžu pro n přirozené) a dostanu
1/(2 + a) kde a = 1/n
což je nutně menší než 1/2, protože je to vlastně 1/2 s "trochu" zvětšeným jmenovatelem :-)