Ontola > Matematika > diskuze
| Nahlásit

Soustavy rovnic o 3 neznámých s vektory

Jsou dány vektory a= (2,-1,-1), b=(3,2,1), c==(1,-3,2). Najděte souřadnice vektory u, pro který platí au=2, bu=7, cu=-1.
Témata: Nezařazené

9 reakcí

(Upraveno 21.10. 00:22) | Nahlásit
Přeji pěkný večer, Anonyme Cepetene,

řešíme soustavu lineárních rovnic, kterou jste vypsal v zadání:

2*u1 - u2 - u3 = 2
3*u1 + 2*u2 + u3 = 7
u1 - 3*u2 + 2*u3 = -1

Označíme-li vektor b = (2, 7, -1)^T, u = (u1, u2, u3)^T a čtvercovou matici A
[ 2 -1 -1 ]
[ 3 2 1 ] = A
[ 1 -3 2 ],

pak lze soustavu zapsat jako systém Au = b.

Soustavu můžeme snadno analyticky vyřešit různými metodami. Oblíbená je například Gaussova nebo Gauss-Jordanova eliminační metoda, já vzhledem k poměrně nízké hodnosti čtvercové matice A pro řešení ale použiji Cramerovo pravidlo.

det(A) = 8 + 9 - 1 + 2 + 6 + 6 = 30

Determinant je nenulový, existuje tedy jedno řešení soustavy.
Nyní určím determinant matice Au1, která vznikne tak, že první sloupec matice bude nahrazen příslušnými hodnotami vektoru b.

det(Au1) = 8 + 21 + 1 - 2 + 6 + 14 = 48

Podobně det(Au2), det(Au3):

det(Au2) = 28 + 2 + 3 + 7 + 2 - 12 = 30
det(Au3) = 4 - 18 - 7 - 4 + 42 - 3 = 6

Z Cramerova pravidla plyne

u1 = det(Au1)/det(A) = 48/30 = 8/5
u2 = det(Au2)/det(A) = 30/30 = 1
u3 = det(Au3)/det(A) = 6/30 = 1/5

Jediným možným řešením soustavy je vektor u = (u1, u2, u3) = (8/5, 1, 1/5).
| Nahlásit
Předem Vám moc děkuji za jasnou odpověď. Ale předtím než jsem to sem dal, jsem si to zkoušel vypočítat. Taky mi vyšlo u3=1/5, ale je to příklad z učebnice a má vyjít u=(2,-1,3). Moc Vás prosím o přepočítání.
| Nahlásit
> má vyjít u=(2,-1,3)

(2,-1,3) je nesmysl. Proveď si zkoušku:
c.u = 1.2 -3.(-1) + 2.3 = 2+3+6 = 11 (má vyjít -1)
(Upraveno 21.10. 11:01) | Nahlásit
Přeji pěkné ráno, Anonyme Cepetete,

říkáte (cituji) "má vyjít u=(2,-1,3). Moc Vás prosím o přepočítání." Anonym Titidir a Anonym Cunyvar správně potvrdili, že příklad byl vypočítaný správně. Já se ale pokusím ukázat (tentokrát bez důkazu), za jakých okolností by bylo správné vaše řešení a přepočítat tak vaše zadání, které jste možná chybně zapsal.

Původně jsme měli matici A
[ 2 -1 -1 ]
[ 3 2 1 ] = A
[ 1 -3 2 ],
vektor u = (u1, u2, u3)^T a b = (2, 7, -1)^T.
Aby platilo Au = b, muselo být u = (8/5, 1, 1/5)^T.

Pokud tvrdíte, že řešení zní u' = (2, -1, 3)^T, pak hledáme matici A', aby platilo
A'u' = b
Takových matic je celá řada, mně se ale po několika pokusech (postup nebudu ukazovat, bylo to "nematematicky" namátkově) podařilo najít matici
[ 2 -1 -1 ]
[ 3 2 1 ] = A'
[ 1 -3 -2 ],
která soustavě A'u' = b vyhovuje a přitom se A liší od A' jedině tak, že A(2,2) = 2 a A'(2,2) = -2 (indexujeme od nuly), jinak jsou matice A' a A stejné.
Podívejte se tedy prosím do zadání, zda vektor c je opravdu (1, -3, 2) a ne (1, -3, -2), neboť pak by vaše řešení bylo správné. Samozřejmě vůbec nevylučuji, že může být podobně vhodný překlep i na jiném místě.

Pro kontrolu tentokrát taky použiji matematický nástroj:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7B%7B2%2C+-1%2C+-1%7D%2C%7B3%2C+2%2C+1%7D%2C%7B1%2C+-3%2C+-2%7D%7D.%7B2%2C+-1%2C+3%7D%3D%7B2%2C7%2C-1%7D
| Nahlásit
zadani je ok,ma vsechny znaminka na vsech mistech dobre...ted jsem to znovu zkontroloval podle ucebnice..
| Nahlásit
Rozumím.
Bohužel tedy autoři učebnice buď příklad špatně vyřešili, nebo špatně otiskli zadání. Druhá možnost bude pravděpodobnější (což jen arogantně prohlášuji bez důkazu).
Přeji tedy krásný zbytek dne a věřím, že podobných překlepů v učebnici najdete co nejméně.
| Nahlásit
Moc Vám za všechno děkuju.
 Anonym
Odpovídat lze i bez registrace. Dodržujte pravidla Ontoly
Vložit: Obrázek