Dělitelnost, důkaz
Dobrý den,
Potřebovala bych poradit s timto:
Dokaz, že pro každé přirozené číslo n je výraz n3-n delitelny 6. Potřebovala bych to o s nějaký vysvětlením, abych to pochopila. Děkuju
Potřebovala bych poradit s timto:
Dokaz, že pro každé přirozené číslo n je výraz n3-n delitelny 6. Potřebovala bych to o s nějaký vysvětlením, abych to pochopila. Děkuju
Odpovědi
Diskuze
2. krok za n dosadím k
k^3 - k /6 - tohle považuji za všeobecně platný výrok
a teď si určím člen k+1:
k+1)^3 - k+1 /6 (tu 6 už opisovat nebudu a prostě to nějak rozložím:
k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k -1 =(k^3 -k) +k + 3k^2 + 2k = (k^3 -k) + 3k^2 + 3k =
(k^3 - k) + 3k*(k+1)
(k^3 - k)-je dělitelné 6, protože to odpovídá tomu všeobecně platnému výroku, ze kterého vycházím
3k*(k+1) - k je přirozené číslo; když k bude sudé, tak to bude sudé číslo * 3 => je dělitelné 6 ; když k bude liché číslo, tak v závorce mám (k+1)*3 => tudíž liché číslo + 1 je sudé číslo a opět ten člen bude dělitelný 6
tudíž 2. krok je platný
problém je u toho prvního kroku, kde si nejsem jistý, jestli 0/6 lze považovat za "rozumný výsledek", a tudíž považovat první krok za platný... Pokud by byl první krok neplatný, celý výrok by byl nepravdivý
f(n)=n^3-n
f(0)=0^3-0=0
f(1)=1^3-1=0
f(2)=2^3-2=6
f(3)=3^3-3=24
f(4)=4^3-4=60
f(5)=5^3-5=120
f(6)=6^3-6=210
...
jestliže je 1*2*3=6 dělitelné 6
pak je dělitelné i
jestliže je 2*3*4=24 dělitelné 6
pak je dělitelné i
jestliže je 3*4*5=60 dělitelné 6
pak je dělitelné i
jestliže je 4*5*6=120 dělitelné 6
Závěr:
Vždy se mezi sebou násobí tři po sobě jdoucí čísla, tudíž jedno z nich je určitě dělitelné třemi, protože každé třetí číslo je dělitelné třemi a aspoň jedno z trojice je sudé, z toho plyne že každé sudé je dělitelné dvěma, takže minimálně každá trojice mezi sebou vynásobených čísel je dělitelná 6. Což bylo dokázat.