Nerovnice v podílovém tvaru s absolutní hodnotou
Zdravím potřeboval bych vysvětlit, nejlépe do detailu každý krok, jak se počítá tento typ příkladu. děkuji
Odpovědi
Řešení se rozpadne na 2 případy podle hodnoty absolutní hodnoty. Tyto 2 případy se dále rozpadnou na další 2 větve (celkem tedy budou 4 větve) podle toho, zda výraz pod zlomkovou čarou je kladný nebo záporný, což má vliv na znaménko nerovnosti (násobení obou stran nerovnosti záporným číslem otáčí znaménko nerovnosti).
Diskuze
ve výrazu nalevo nemůžeš dělit nulou (symbol =/= znamená "nerovná se"):
2-x =/= 0
x =/= 2
Takže dvojka nemůže být v žádném případě (součástí) řešení, protože
|2.2-2| /(2-2) = |2|/0 = 2/0 prostě neexistuje.
Shrnutí řešení je uvedeno na konci textu.
-------------------------------------------------------
Postup řešení musíš rozdělit na případy, kdy abs.hodnota výrazu 2x-2 je rovna tomu výrazu (tedy |2x-2| = 2x-2 ) a kdy jeho opačné hodnotě (tedy |2x-2| = -(2x-2) ), jak plyne z definice absolutní hodnoty:
|a| = a pro a>=0 (viz např. |3| = 3 )
|a| = -a pro a<0 (viz např. |-4| = -(-4) = 4 )
2x-2 >= 0
2x >= 2
x >= 1
pro x>=1 je |x-1| větší než (nebo rovno) 0, tedy i |2x-2|>=0, a proto |2x-2| = 2x-2
pro x<1 je |x-1|<0, tedy i |2x-2|<0, a proto |2x-2| = -(2x-2)
-------------------------------------------------------
Vyřešíme pro případ x >= 1:
|2x-2| / (2-x) < 1
(2x-2) / (2-x) < 1
Pro úpravu bychom zde měli vynasobit výrazem (2-x). Problém je, že když bude (2-x) záporné, tak musíme otočit znaménko nerovnice.
Kdy je 2-x záporné?
2-x < 0 ; převedeme x na druhou stranu
2 < x
; jen zápis otočíme (jako bychom četli zprava doleva)
x > 2
Tedy pro x>2 bude výraz 2-x záporný a my budeme muset znaménko nerovnosti v původní rovnici zadání otočit.
(2x-2) / (2-x) < 1
vynásobíme obě strany nerovnice výrazem (2-x), o kterém víme, že je záporný a proto budeme muset otočit znaménko nerovnice:
2x-2 > 2-x
3x > 4
x > 4/3
X musí být větší než 4/3, ale řešili jsme pro situace, kdy x >= 1 a navíc s dalším omezením, kdy x>2. Řešení z tohoto kroku je tedy kombinací řešení a všech omezení, neboli x>2.
-------------
Pořád řešíme pro případ x >= 1, ale tentokrát pro x<2 (nemůže být x<=2, protože z výpočtu def.oboru na začátku výpočtu vyplývá, že x =/= 2). Výraz 2-x bude kladný a my znaménko nerovnosti v původní rovnici zadání se nebude měnit.
(2x-2) / (2-x) < 1
vynásobíme obě strany nerovnice výrazem (2-x), o kterém víme, že je kladný a proto nemusíme otáčet znaménko nerovnice:
2x-2 < 2-x
3x < 4
x < 4/3
X musí být < 4/3, ale řešili jsme jen pro případy, kdy x>=1 s dalším omezením, kdy x<2 takže řešením z tohoto kroku jsou jen čísla mezi 1 a 4/3:
1 <= x < 4/3
--------------
Dosud tedy máme 2 řešení:
x>2
1 <= x < 4/3
-------------------------------------------------------
Teď vyřešíme pro x < 1, tedy pro případ když |2x-2| = -(2x-2):
|2x-2| / (2-x) < 1
Opět bychom měli násobit výrazem (2-x) a podle toho, zda bude kladný nebo záporný se bude případně obracet znaménko nerovnosti. Výpočet se proto i tentokrát rozpadá na 2 případy, stejně jako výše ve výpočtu pro x>=1.
Případ kdy x<2 (výraz 2-x je kladný a nemusí se otáčet znak nerovnice)
-(2x-2) / (2-x) < 1 ; vynasobíme výrazem (2-x) a necháme znak nerovnice
-(2x-2) < 2-x
-2x+2 < 2-x
0 < x
x > 0
X musí být větší než 0, ale řešili jsme jen pro případy, kdy x<1 a s dalším omezením x<2, takže řešením jsou jen čísla mezi 0 a 1:
0 < x < 1
------------
Případ kdy x>2 (výraz 2-x je záporný a muselo by se otáčet znaménko nerovnice) ani nemusíme řešit, protože řešíme pro situace kdy x<1 a k takové situaci nikdy nedojde (x nemůže být menší než 1 a přitom větší než 2).
Z těchto 2 větví řešení tak máme jen řešení z první větve: 0 < x < 1
-------------------------------------------
Zkombinuje všechna řešení:
x>2
1 <= x < 4/3
0 < x < 1
do jednoho zápisu: x = (0; 4/3) U (2; nekonečno)
a to je i náš výsledek řešení úlohy ze zadání
*************************************************
Ve výsledcích uvedené lomené závorky jsou zjevně špatně. Mají tam být závorky otevřené, jak se lze snadno přesvědčit dosazením třeba hodnot 0 nebo 2 do zadání, kdy je vidět, že nerovnici nevyhovují.
Řešení z Wolfram Alpha souhlasí: https://www.wolframalpha.com/input?i=%7C2x-2%7C+%2F+%282-x%29+%3C+1
*************************************************
Shrnutí: Řešení se rozpadne na 2 situace podle hodnoty absolutní hodnoty. Tyto 2 situace se dále rozpadnou na další 2 větve podle toho, zda výraz pod zlomkovou čarou je kladný nebo záporný, což má vliv na znaménko nerovnosti.