Kvadratická funkce
Funkční předpis kvadratické funkce f zapište rovnicí, víte-li že platí: funkce f pro x=2 nabývá maxima, přičemž hodnota maxima je 4 a osu y protíná graf funkce v bodě [0;1].
Mohl by mi někdo vysvětlit, jak přijdu na správné řešení?
Mohl by mi někdo vysvětlit, jak přijdu na správné řešení?
Odpovědi
Diskuze
čili hledáš hodnoty a,b,c.
K tomu potřebuješ obecně tři rovnice, které vzniknou dosazením tří funkčních hodnot, a tím je dána funkce jednoznačně ( + víš, že je to kvadratická funkce).
Víš, že:
f(2)=4
f(0)=1
a kde vzít tu třetí hodnotu?
graf kvadratické funkce je souměrný podle přímky rovnoběžné s osou ypsilon, procházející maximem (nebo minimem)
Funkce má maximum pro x=2, dále znáš hodnotu v x = 0 a z výše uvedené vlastnosti vyplívá, že pro x=4 je funční hodnota stejná jako pro x = 0 (stejně daleko na ose x od maxima)
poslední známou funční hodnotou je tedy f(4)=1
Z těchto tří hodnot bys již měl být schopen sestavit předpis funkce.
1. rovnice
y=ax^2 + bx + c
y'=2ax + b
y'(2)=2a*2 + b = 0
4a + b = 0
----------
2. rovnice
bod [0;1]
y=ax^2 + bx + c
1=a0^2 + b0 + c
c=1
---
3. rovnice
ymax=4 pro x=2
y=ax^2 + bx + c
4=a*2^2 + b*2 + c
4=4a + 2*b + c
----------------
soustava 3 rovnice:
4a + b = 0
c=1
4=a*2^2 + b*2 + c
4=4*a + 2*b + c
---
soustava 2 rovnice:
4a + b = 0
4=4*a + 2*b + 1
---
4=4*a + 2*(-4a) + 1
3=-4*a
a=-3/4
======
4a + b = 0
4*(-3/4) + b = 0
b = 3
y=ax2 + bx + c
y=-3/4*x^2 + 3*x + 1
====================
Zkouška:
y=-3/4*x^2 + 3*x + 1
x=2
y=-3/4*2^2 + 3*2 + 1
y=-3 + 6 + 1
y=4
---
bod [0;1]
y=-3/4*x^2 + 3*x + 1
y=-3/4*0 + 3*0 + 1
y=1
---
Mé řešení je středoškolské.
Proto myslím, že je vhodné ukazovat rozdílné přístupy - podobně jako třeba soustavy rovnic lze řešit středoškolsky, nebo maticemi.
Jen bych si dovolil poupravit výrok " první derivace musí být rovna nule. Tím je dáno lokální maximum nebo minimum." na "Kvadratická funkce (definovaná na R) má v maximu první derivaci rovnou 0"
První derivace rovná 0 totiž umožňuje navíc tzv. inflexní bod.