Analytická geometrie v rovině (příklad)
Body A[2;4], B[4;-6] určují přímku AB. Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází středem úsečky AB a je kolmá na přímku MN, M[-4;-3], N[1;-2]
Odpovědi
Diskuze
vektor:
AB=B-A=B[4;-6] - A[2;4] = AB[2,-10]
parametrická rovnice přímky
x=ax*t+x0 = 2*t + 2
y=ay*t+y0 = -10*t + 4
pro t=1/2 najdu střed úsečky AB:
x= 2*1/2 + 2 = 3
y= -10*1/2 + 4 = -1
bod určující střed úsečky AB S[3,-1]
2. hledáme kolmici na přímku AB
vektor:
MN=N-M = N[1;-2] - M[-4;-3] = MN[5,1]
3. hledám směrnici vektoru, který je kolmý k vektoru MN o směrnici k
pro skalární součin dvou vektorů platí:
[x1,y1]*[x2,y2]=x1*x1+y1*y2=cos(α)
pokud je úhel α=90°; cos(90°)=0
x1*x2+y1*y2=0
x1*x2=-y1*y2
x1/y1=-y2/x2
směrnice prvního vektoru je k1=y1/x1
směrnice druhého (kolmého vektoru je pak):
k2=y2/x2=-x1/y1=-1/k1
toť vozorec pro vyhledání směrnice k2 kolmé k dané směrnici k1:
k2=-1/k1
========
4. hledám přímku, která prochází bodem S a má směrnici k2:
k1=1/5
k=k2=-1/k1=-5/1=-5
y=kx+q (rovnice přímky)
y=-5*x+q
S[3,-1]
-1=-5*3+q
-1+15=q
q=14
Hledaná přímka, která prochází středem úsečky AB a je kolmá k přímce MN je:
y=-5*x+14
=============
v parametrickém tvaru:
x=t
y=-5*t+14 (hledaná rovnice přímky)
=============
kontrola:
do parametrické rovnice přímky dosadím bod S[3,-1]:
x=t
y=-5*t+14
3=t
-1=-5*t+14
3=t
3=t
Pokud jsou parametry stejné z obou parametrických rovnic( t=3, t=3), bod S[3,-1] leží na hledané přímce 'p' přímce, tedy bod S vyhovuje.
x=a1*t + x1
y=a2*t + y1
k1=1/5
x=5*t-4
y=1*t-3
========
6. Pokud známe rovnice obou přímek: p, MN , můžeme najít průsečík T, přímky 'p' a přímkou MN:
MN:
x=5*t-4
y=1*t-3
p:
y=-5*x+14
řešíme soustavu:
y=1*(x+4)/5 - 3
y=-5*x+14
1*(x+4)/5 - 3 = -5*x+14
x = 81/26
x = 81/26
y=-5*x+14
y=-5*81/26+14
y=-5*81/26+14*26/26
y=-41/26
bod průniku přímek p a MN, průsečík: T[81/26,-41/26]
==========================
kontrola přímky MN:
x=5*t-4
y=1*t-3
81/26=5*t-4
-41/26=1*t-3
(81/26+4*26/26)/5=t
-41/26+3=t
37/26=t
37/26=t
OK parametry t=t
---
kontrola přímky p:
p:
y=-5*x+14
-41/26=-5*81/26+14
-41=-5*81+14*26
-41=-41
OK