Integrály matematika
Odpovědi
Diskuze
(x^2-7x-8)' = 2x-7
∫(x+19)/(x^2-7x-8)*dx =
∫(x+19+7-7)/(x^2-7x-8)*dx =
∫(x-7+26)/(x^2-7x-8)*dx =
∫(x-7)/(x^2-7x-8)*dx + ∫26/(x^2-7x-8)*dx =
∫(x-7)/(x^2-7x-8)*dx + ∫26/((x+1)*(x-8)) * dx =
rozklad na parciální zlomky:
26/((x+1)*(x-8)) = (A)/(x+1) + (B)/(x-8) = [ (A)*(x-8) + (B)*(x+1) ]/((x+1)*(x-8))
Ax-8A + Bx + B = 26
x^1: A+B=0
x^0: -8A + B = 26
A=-26/9
B=26/9
26/((x+1)*(x-8)) = ( (-26/9)(x-8) + (26/9)(x+1) ) / ((x+1)*(x-8))
∫(x-7)/(x^2-7x-8)*dx + ∫(-26/9)/(x+1)*dx + ∫(26/9)/(x-8))*dx =
= ln(x^2-7x-8) + (-26/9)*ln(x+1) + (26/9)*ln(x-8) + C
====
https://www.wolframalpha.com/input/?i=∫26%2F(x%5E2-7x-8)*dx+%3D
PS:
ln(8-x)'=ln(x-8)'
1/(8-x)*(-1)*dx=1/(x-8)*dx
b) ∫ln(x)/(x^2) * dx
(per partes)
u'=x^-2; u=(x^-1)/(-1)
v=ln(x); v=1/x
∫u'*v = u*v - ∫u *v'
∫ln(x)/(x^2) * dx = -ln(x)/x - ∫ (-1)/(x^2) * dx =
∫ln(x)/(x^2) * dx = -ln(x)/x + ∫ 1/(x^2) * dx =
= -ln(x)/x - 1/x + C
====================
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%ABln(x)%2F(x%5E2)+*+dx
V prvním příkladu:
Označme integrovanou funkci f. Zřejmě f(x) = (x+19) / ((x+1)*(x-8)) pro všechna reálná x kromě -1 a 8. Existují proto reálná čísla A, B, že pro všechna x z D(f) platí
f(x) = A/(x+1) + B/(x-8) ,
neboli
x+19 = A*(x-8) + B*(x+1) .
Protože funkce na obou stranách rovnosti jsou spojité v R, musí tato rovnost platit dokonce pro všechna reálná x. Pro x=8 máme
27 = B*9 ,
tj. B=3 , a pro x=-1 máme
18 = A*(-9) ,
tj. A=-2 , takže pro všechna x z D(f) platí
f(x) = 3/(x+1) - 2/(x-8) .
Tohle je nejjednodušší cesta rozkladu na zlomky. Dál je integrace snadná, nesmíš jen zapomenout na absolutní hodnoty v logaritmech a hlavně na to, že f je definovaná v trojici disjunktních intervalů, takže "posouvací" konstanta může být v každém z těchto intervalů jiná.
Druhý příklad je lehoučké per partes; opět po určení definičního oboru a ověření spojitosti můžeš počítat.
Samozřejmě všechna tvrzení s proměnnými musejí být řádně kvantifikována, jinak by to byly jen bezcenné negramotné bláboly v Cenobitově stylu. Řešení příkladu VŽDYCKY MUSÍ být sérií logicky kauzální série výroků, tedy CELÝCH ČESKÝCH VĚT!!!
f(x) =