Míša zkoumá čísla, která lze vyjádřit jako součet alespoň dvou po sobě jdoucích přirozených čísel. Obzvlášť ji zajímají čísla, která se takto dají vyjádřit vícero způsoby (např. 18 = 5 + 6 + 7 = 3 + 4 + 5 + 6). Číslům, která lze takto vyjádřit alespoň třemi způsoby, říká velkolepá. Najděte alespoň tři Míšina velkolepá čísla. Chtěl bych tuto úlohu vyřešit.
Odpovědi
Diskuze
18-3 = 3x
15/3 = x
x=5
Pro trojice je jenom jedno řešení u čísla 18.
18 = x + (x+1) + (x+2) + (x+3)
18-6 = 4x
12/4 = x
x=3
Pro čtveřice je jenom jedno řešení u čísla 18.
18 = x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4)
18-10 = 5x
8/5 = x
x=... není celé číslo
Pro pětice je jenom jedno řešení u čísla 18.
Pokud nehledám šestice a více, tak lze konstatovat, že číslo 18 není velkolepé.
A takto lze probírat všechna čísla. Protože je to pracné je dobré to naprogramovat.
Pomocí níže uvedeného programu je možné odhalit, že je možné číslo 18 vyjádřit POUZE dvěma uvedenými způsoby, tedy číslo 18 opravdu není velkolepé.
pro součet 3 po sobě jdoucích čísel:
N = x + (x+1) + (x+2)
N = 3x + 3
N = 3.(x+1)
Je vidět, že hledané číslo je násobkem tří (protože je beze zbytku dělitelné třemi).
pro součet 4 po sobě jdoucích čísel:
N = y + (y+1) + (y+2) + (y+3)
N = 4y + 6
N = 4.(y+1) + 2
Hledané číslo je o 2 větší než násobek čtyř.
pro součet 5 po sobě jdoucích čísel:
N = z + (z+1) + (z+2) + (z+3) + (z+4)
N = 5z + 10
N = 5.(z+2)
Hledané číslo je násobkem pěti.
Souhrn: hledané číslo je násobkem 3 a 5 a je o 2 větší než násobek 4.
Násobky 3 a 5 jsou: 15, 30, 45, 60, 75, 90, ...
Násobky 4 jsou sudá čísla a číslo o 2 větší bude také sudé, takže nemusíme zkoumat 15, 45, 75, ...
Zkusíme 30: 30/4 = 7 a zbytek 2, tedy 30 je o 2 větší než násobek 4
Zkusíme 60: 60/4 = 15, je to tedy násobek 4 a nevyhovuje
Zkusíme 90: 90/4 = 22, zbytek 2, tedy 90 je o 2 větší než násobek 4
atd.
Vidíme vzor: řešením budou všechna čísla typu 30 + k.60, kde k je přirozené číslo plus nula.
Najdeme rozpis například pro 30:
30 = 3.(x+1)
x = 9
30 = 9+10+11
30 = 4.(y+1) + 2
y = 6
30 = 6+7+8+9
30 = 5.(z+2)
z = 4
30 = 4+5+6+7+8
--------------------------------
Výše uvedený postup je pro trojice způsobů o délkách 3,4 a 5 členů. Obdobně to lze řešit pro jiné n-tice různých délek členů počínaje dvěmi, jak dovoluje zadání úlohy.
9+10+11=30
6+7+8+9=30
4+5+6+7+8=30
Program - Visual Basic Script:
---
'Program pro hledání velkolepých čísel v intervalu 3 až 60
for n=3 to 60
m=0
for d=2 to n
if (n-(d*d + d)/2) mod (d+1) = 0 and sgn(n-(d*d + d)/2) = 1 then m=m+1: if m>=1 then msgbox _
"n=" & n & vbcrlf & _
"m=" & m & vbcrlf & _
"x=" & (n-(d*d + d)/2) / (d+1) & vbcrlf & _
"d=" & d & vbcrlf & _
""
next
next
'n - součet aritmetické posloupnosti
'm - počítadlo počtu nalezených rozkladů pro každé číslo n
'x - první člen aritmetické posloupnosti
'd - diference aritmetické posloupnosti
30,42,45,54,60, ...
číslo 45 prvním velkolepým číslem, které má více jak tři rozklady (má jich čtyři):
14+15+16=45
7+8+9+10+11=45
5+6+7+8+9+10=45
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
N = x + (x+1)
N = 2x + 1
N ... liché
N = y + (y+1) + (y+2)
N = 3.(y+1)
N ... násobek 3
N = z + (z+1) + (z+2) + (z+3)
N = 4.(z+1) + 2
Souhrn: N musí být liché, ale zároveň násobek 4 plus 2, což je sudé číslo => úloha nemá řešení
To nabralo nečekaný obrat :-(
Možná by fungovala trojice o délkách 2,3,5?
N = z + (z+1) + (z+2) + (z+3) + (z+4)
N = 5.(z+2)
N ... násobek 5
Souhrn: N musí být liché číslo a společný násobek 3 a 5.
Společné násobky 3 a 5 jsou: 15, 30, 45, ...
Lichá jsou z nich: 15, 45, ..., obecně 15 + k.30, kde k je přirozené číslo plus nula.
Najdeme rozpis například pro 15:
15 = 2x + 1
x = 7
15 = 7+8
15 = 3.(y+1)
y = 4
15 = 4+5+6
15 = 5.(z+2)
z = 1
15 = 1+2+3+4+5
------------------------------
To by myslím mělo tazateli stačit. Má zde 2 nekonečna řešení ;-D
> číslo 45 prvním číslem, které má dokonce dva rozklady:
> rozklad na 3 členy:
> 5+6+7+8+9+10=45
> rozklad na 4 členy:
> 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
Tohle jsem nějak nepochopil. V 1.případě vidím 6 členů a ve druhém 9.
číslo 45 prvním velkolepým číslem, které má více jak tři rozklady (má jich čtyři):
14+15+16=45
7+8+9+10+11=45
5+6+7+8+9+10=45
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45