Kuželosečky - elipsa a parabola
Ahoj, nepomůže mi někdo s příklady? Předem děkuju :)
Dokaž, že rovnice 9𝑥2+16𝑦2+6𝑥−40𝑦+25=0 je rovnicí elipsy 𝜀. Urči souřadnice jejího středu, velikosti poloos a souřadnice jejích ohnisek. Načrtni ji.
22.2. Napiš rovnice tečen vedených z bodu 𝑃 1,−3 k parabole 𝑝: 𝑥2=8𝑦. Načrtni.
Dokaž, že rovnice 9𝑥2+16𝑦2+6𝑥−40𝑦+25=0 je rovnicí elipsy 𝜀. Urči souřadnice jejího středu, velikosti poloos a souřadnice jejích ohnisek. Načrtni ji.
22.2. Napiš rovnice tečen vedených z bodu 𝑃 1,−3 k parabole 𝑝: 𝑥2=8𝑦. Načrtni.
Odpovědi
Diskuze
9x²+6x + 16y²−40y + 25 = 0
9x²+6x+1-1 + 16y²−40y+25 = 0
(9x²+6x+1)-1 + (16y²−40y+5) = 0
(3x+1)²-1 + (4y−5)² = 0
(3x+1)² + (4y−5)² = 1
(x + 1/3)²/(1/3)² + (y − 5/4)²/(1/4)² = 1
a) střed
x0=-1/3; y0=5/4
============
b)
a=1/3
b=1/4
e²=a²-b²=
c) souřadnice ohnisek najdete pomocí excentricity:
e²=a²-b²=(1/3)²-(1/4)²=1/9-1/16=
e=0,22047927592204921587513464613661
lcm(9,16)=144
1/9-1/16= (16-9)/144=7/144
e=√7/12
=======
9x2+16y2+6x−40y+25=0
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(3x%2B1)²+%2B+(4y−5)²+%3D+1
(x/a)² + (y/b)² = 1
https://cs.wikipedia.org/wiki/Elipsa
8y=x²
y=x²/8
k(paraboly)=dy/dx=2x/8=x/4; směrnice tečny k parabole v bodě x
1. bod přímky - tečny: P=(1,-3)
2. bod přímky - tečny: Q=(x0,y0)
k(přímky)=(y0-(-3))/(x0-1)=(y0+3)/(x0-1); směrnice přímky
v bodě, kde se tečna dotýká paraboly musí platit:
y0=x0²/8
a také:
k(paraboly) = k(přímky)
x/4 = (y0+3)/(x0-1)
x0/4 = (x0²/8+3)/(x0-1)
za předpokladu že x0<>1 :
x0² - 2*x0 - 24 = 0; kvadratická rovnice
dvě řešení, protože se tečna z jednoho bodu vždy dotýká paraboly dvěma dotyky:
1) x0=(2 + √(4 + 4*24) )/ 2 = 6
2) x0=(2 + √(4 + 4*24) )/ 2 = -4
y0=x0²/8
1) y0=6²/8=4,5
2) y0=(-4)²/8=2
dva body dotyku:
T1(6, 4.5)
T2(-4, 2)
přímka/tečna t1 a t2 :
k1(přímky)=(y0+3)/(x0-1)=(4,5+3)/(6-1)=1,5
k2(přímky)=(y0+3)/(x0-1)=(2+3)/(-4-1)=-1
y=k1*x+q1
-3=3/2*1+q1
q1=-4,5=-9/2
y=3/2*x-9/2
===========
y=k2*x+q2
-3=-1*1+q1
q2=-2
y=-x-2
======
kontrola:
y=x²/8 ; y=3/2*x-9/2 ; y=-x-2
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx²%2F8+;+y%3D3%2F2*x-9%2F2+;+y%3D-x-2