Tečna ke grafu?

Anonym Taterib07.11.2023 20:33 Nahlásit
Jaká musí být hodnota čísla q, aby přímka -6x+2y+q=0 byla tečnou grafu y=x²+9x+3? Výsledek by měl být -30, nejsem si však jistý jenotlivými kroky

Odpovědi

Přidat odpověď ▾

Diskuze

Anonym Cyjapoz08.11.2023 06:29 Nahlásit
Aby byla tečnou, tak ta přímka a ta parabola musí mít právě jeden společný bod, řekněme T, jehož souřadnice [x,y] vyhovují jak rovnici přímky, protože na ní leží, tak i rovnici paraboly, protože na ní také leží.

Řešíme tedy soustavu rovnic

-6x+2y+q=0
y=x²+9x+3

Podle hodnoty parametru q bude mít soustava rovnic buď 0,1 nebo 2 řešení. My chceme právě 1 řešení, protože přímka má s parabolou mít právě 1 společný bod.

y = 3x - q/2
3x - q/2 = x^2 + 9x + 3
x^2 + 6x + (3 + q/2) = 0

D = 6^2 - 4.(3 + q/2) = 24 - 2q
D musí být 0, aby vyšlo jen jedno řešení kvadratické rovnice.

24 - 2q = 0
q = 12

Opsal jsi správně ty rovnice přímky a paraboly?

https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+-6x%2B2y%2B12%3D0%2C+y%3Dx%C2%B2%2B9x%2B3
Anonym Taterib08.11.2023 10:40 Nahlásit
Máš pravdu, překoukl jsem se ve výsledcích. Vychází ti to dobře, moc děkuji:))zachránce na druhou, hezky jsi to vysvětlil!!
Anonym Taterib08.11.2023 10:48 Nahlásit
Mohu se ještě zeptat, prosím? zajímalo by mě, proč ve 4. kroku, že jsi jsou přímky rovny?
y=y -> 3x - q/2 = x^2 + 9x + 3
Anonym Cyjapoz08.11.2023 10:56 Nahlásit
Když dopočítáme tu soustavu, zjistíme i souřadnice toho odu T:

x1,2 = [-b +/- odm(D)] / 2a

Protože D = 0

x = -b/2 = -6/2 = -3
y = 3x - q/2 = 3.(-3) - 12/2 = -15

Bod T má souřadnice [-3;-15]. Pohledem do grafu výše vidíme, že to souhlasí.
Anonym Cyjapoz08.11.2023 10:59 Nahlásit
> proč ve 4. kroku, že jsi jsou přímky rovny

Nic složitého v tom nehledej. Jen řešíme soustavu 2 rovnic. Z 1.rovnice jmse si vyjádřili "y" a dosadili ho do 2.rovnici. To je vše.
Anonym Taterib08.11.2023 12:12 Nahlásit
Jo aha, tak v pořádku.. díky za dovysvětlení, už je mi to jasné:))netuším proč mám nutkání ve všem hledat složitosti
Anonym Taterib08.11.2023 12:13 Nahlásit
A za vysvětlení jsem opravdu moc vděčný, díky Tobě jsem se konečně posunul:)
Cenobita.08.11.2023 13:48 Nahlásit
PS: úlohu je možné řešit i tak, že 1. derivace rovnice paraboly definuje směrnici tečny k parabole.

y=x²+9x+3; parabola
y'=2x+9; směrnice tečny je k1=2x+9

k1=(2x+9)

y = 3x - q/2
k2=3

takže řešíme pouze rovnici:

k1=k2
to porovnáme s parabolou: y=x²+9x+3

k1=k2
(2x+9) = 3
x = -6/2 = -3
y=x²+9x+3=(-3)*(-3)-9*3+3=-15

bod dotyku tečny je T[-3,-15]

a zbytek už je jenom dosazení do rovnice přímky:

y = 3x - q/2
-15 = 3*(-3) - q/2
-(-15+9)*2 = q
q=+12
=====
Přidat komentář do diskuze ▾