Kolikrát je vetší objem koule s dvojnásobným poloměrem?

Anonym Jufipog11.01.2015 16:10 Nahlásit
Poloměr koule má 0,3 m, předem díky!:)

Odpovědi

Přidat odpověď ▾

Diskuze

xewerob11.01.2015 17:01 Nahlásit
Neboli objem roste s třetí mocninou rozměru.
Je to vidět taky z toho, že základní rozměr má jednotku m a objem má jednotku m³.
Anonym Tuqifuh11.01.2015 18:29 Nahlásit
xewerob: Pro jaká tělesa ta tvá poslední věta platí? A má ta poslední věta znamenat, že plocha roste s druhou mocninou rozměru, protože základní rozměr má jednotku m a plocha má jednotku m²? A pro jaké plošné útvary?
xewerob11.01.2015 19:30 Nahlásit
Platí to pro jakékoli těleso – když jeho rozměry zvětšíš proporcionálně ve všech třech osách ve stejném poměru (jako kdybys to těleso rovnoměrně nafoukl), zvětší se jeho objem se třetí mocninou toho poměru (stejně tak ovšem i pro zmenšení, tj. poměr zvětšení < 1).

A přesně jak říkáš, platí to obdobně (s druhou mocninou) i pro plošné útvary. Bez ohledu na tvar, jako bys tu plochu s útvarem v obou osách stejně natáhl.

Technicky by samozřejmě byl problém takhle zvětšit nějaký složitější reálný tvar, třeba narýsovaný na papíře. Ale tady jde o to si uvědomit, že na tvaru opravdu nezáleží - při dvojnásobném zvětšení se zečtyřnásobí plocha čtverce stejně jako kruhu, trojúhelníka i nějaké složité 50cípé hvězdice :-)
Anonym Tuqifuh11.01.2015 21:11 Nahlásit
Pořád se je čemu učit. Tahle pro mnohé jistě triviální informace je pro mě buď úplnou novinkou, anebo jsem ji za dlouhá léta od ukončení školní docházky zapomněl. Ve vážném podezření chovám tu druhou možnost, protože v poslední době zapomínám stále častěji :-(
xewerob11.01.2015 23:27 (Upr. 11.01.2015 23:32) Nahlásit
Pro první přiblížení je to snadné třeba na té krychli, kde je evidentní, že krychle se stranou 2 obsahuje 8 krychliček se stranou 1.

Pro tělesa obecných tvarů tady neudělám matematicky zcela rigorózní důkaz, ale cesta by určitě vedla asi tudy:

Objem tělesa se přibližně spočítá jako součet nějakých dílčích malých objemů poskládaných přes celý "vnitřek" toho tělesa. Podobně počítají výrobci třeba objem kufru u auta – vycpou ho malými kostkami známého objemu a ty pak sečtou. Pokud budou kostky dost malé, bude malá i chyba výsledku (v extrému bychom se dostali k integrálu, kdyby kostičky šly velikostí až k nule).

Nic nám nebrání, abychom jako "měřicí" kostky použili krychle – v pravoúhlých souřadnicích je to dokonce docela přirozené.

No a pokud teď ten kufr od auta (nebo jakékoli jiné těleso) vycpaný krychličkami zvětšíme v každém směru dvakrát (i s těmi krychličkami vevnitř!), vrátíme se na první řádek tohoto povídání. Už víme, že do každé z těch zvětšených měřicích krychlí, nacpeme právě 8 těch původních.

Což je ten důkaz :-)

A podobně pro plošné tvary, které (dostatečně jemně) rozčtverečkujeme.

P. S.: Tuqifuhu, skoro bych řekl, že to není problém zapomínání, ale že takhle "z nadhledu" se o těchto věcech ve škole málokdy vůbec někdo zmíní. Učí se hromady vzorců, ale méně už (praktické) souvislosti…
Přidat komentář do diskuze ▾