Krychle o hraně 3 cm. Vypočítej odchylku přímky DF a CM, kdy M náleží BF. |MB| = 3/4 |MF|.
Odpovědi
Diskuze
Je vidět, že to jsou mimoběžky. Musíme tedy posunout jednu (nebo obě) tak, aby měly nějaký společný bod.
Když posuneme červenou kamkoliv, tak minimálně její část vyjede z krychle a budeme muset při výpočtu pořád myslet na to, kde v prostoru, kam už nezasahuje krychle, se nachází.
Bude tedy jednodušší posunout modrou. Vidíme, když ji posuneme o |MF| nahoru (zobrazena zeleně), tak bude mít s červenou společný bod (v tomto případě vrchol F krychle).
Odchylku červené a modré pak spočítáme jako úhel mezi červenou a zelenou stranou trojúhelníku DFN pomocí kosinové věty.
Pro abstrakci budeme uvažovat délky strany krychle a. Úhel by neměl záviset na délce strany krychle, tak uvidíme, jestli to máš výpočet potvrdí:
Výpočet délky DF:
Z trojúh. ABD Pyth.větou: DB = a.odm(2)
Z trojúh. DBF Pyth.větou: DF = a.odm(3)
Výpočet délky FN z FNG:
Nejdříve spočítáme GN: Jestliže CN = MF (posunutí modré do zelené), pak platí, že GN = a - CN. Zároveň platí, že a - MF = BM, porovnáním vzorců tedy GN = a - CN = a - MF = BM
Výpočet BM ze zadání:
BM + MF = a
(3/4).MF + MF = a
(7/4).MF = a
MF = (4/7).a
BM = GN = a - MF = a - (4/7).a = (3/7).a
Nyní již známe v trojúh. FGN 2 strany (FG a GN), můžeme dopočítat Pyth.větou FN:
FN = odm(a^2 + [(3/7).a]^2) = a.odm(1 + 9/49) = a.odm[(49+9)/49] = a.odm(58/7^2) =(a/7).odm(58)
Výpočet DN z trojúh. DCN:
DN = odm(a^2 + NC^2) = odm(a^2 + MF^2) = odm(a^2 + [(4/7).a]^2) = a.odm(1 + 16/49) = a.odm[(49+16)/49] = (a/7).odm(65)
V trojúh. DFN známe všechny 3 strany a proto můžeme kosinovou větou spočítat úhel u vrcholu F (tj. úhel DFN):
DN^2 = DF^2 + FN^2 - 2.DF.FN.cos(DFN)
cos(DFN) = (DN^2 - DF^2 - FN^2) / (- 2.DF.FN)
cos(DFN) = [(a^2/49).65 - a^2.3 - (a^2/49).58] / [-2.a.odm(3).(a/7).odm(58)]
cos(DFN) = (65/49 - 3 - 58/49) / [(-2/7).odm(3).odm(58)]
cos(DFN) = (-7/2).(7/49 - 3)/odm(3.58)
cos(DFN) = (-1/2).[(7-147)/7] / odm(3.58)
cos(DFN) = 10/odm(3.58)
cos(DFN) = 0,758
DFN = 40,7°
Snad jsem tam někde neudělal chybu.