Mocninné funkce, přirozený logaritmus, úlohy
vyřešte exponenciální rovnici a výsledek zaokrouhlete na 3 des. místa: 2^x/3=4
-----------------------------------------------------------
vyřešte ln(e^1/2)
-----------------------------------------------------------
Vypočítejte obsah obrazce daného funkcemi: y=x+2, y= 1/x^3, x=1,x=3
----------------------------------------------------------
Zjednodušte logaritmy: log2-4/5logx+3logy
------------------------------------------------------------
určete obor hodnot funkce: y=2+3sin(x+π)
----------------------------------------------------------
funkce lnx je inverzní k funkci?
----------------------------------------------------------
kdy je e^x mensi nez 1
----------------------------------------------------------
Pomohli by jste mi prosím s řešením těchto úloh, nevím si rady s postupem řešení...
-----------------------------------------------------------
vyřešte ln(e^1/2)
-----------------------------------------------------------
Vypočítejte obsah obrazce daného funkcemi: y=x+2, y= 1/x^3, x=1,x=3
----------------------------------------------------------
Zjednodušte logaritmy: log2-4/5logx+3logy
------------------------------------------------------------
určete obor hodnot funkce: y=2+3sin(x+π)
----------------------------------------------------------
funkce lnx je inverzní k funkci?
----------------------------------------------------------
kdy je e^x mensi nez 1
----------------------------------------------------------
Pomohli by jste mi prosím s řešením těchto úloh, nevím si rady s postupem řešení...
Odpovědi
Diskuze
2^x/3=4
log2(2^x/3)=log2(4)
log2(2^x/3)=log2(2*2)
log2(2^x/3)=log2(2^2)
x/3=2
x=2*3=6
=======
1) vyřešte exponenciální rovnici a výsledek zaokrouhlete na 3 des. místa: 2^x/3=4
(2^x)/3=4
(2^x)=12
log2(2^x)=log2(12)
x=log2(2*2*3)
platí: logZ(x)=ln(x)/ln(Z)
tedy:
x=log2(2*2*3)=ln(2*2*3)/ln(2)
nebo
x=log2(2*2*3)=log2(2*2)+log2(3)=2+ln(3)/ln(2)
x=2+ln(3)/ln(2)
===============
ln(e^1/2)=1/2*ln(e)=1/2
=======================
kdy je e^x mensi nez 1: protože e^0 = 1, pro x<0 platí, že y = e^x je y<1 pro x<0 - tedy pro záporná x. Je to stejné, jako u mocnin 10.
log2-4/5logx+3logy=
log( 2(y^3)/x^(4/5) )=
y=2+3sin²(x+π)
fce sin je definovaná od-do (-∞,+∞)
ale pro výpočty se počítá v:
fce sin je definovaná od-do (-π/2,+π/2)
Tím je dán definiční obor, protože sinus je v mocnině (v zadání není vidět v jaké, ale je to jedno). Akorát umocněno na nultou by dávalo přímku: y=2+1
y=ln(x)
e^y=x
Inverzní funkce znamená to, že se z funkce vypočítá argument: x, ten se stane funkcí a z argumentu se stane funkce:
y=ln(x) -> e^y=x -> (prohodím značení) -> y=e^x (a to je inverzní funkce)
Takto se to dělá pro libovolnou funkci - někdy je to ale složitější ... někdy hodně složité ...
e^x < 1
ln(e^x) < ln(1)
{ ln(e^x)=x }
{ ln(1)=0 }
->
x < 0
=====
• Nejprve je nutné zjistit průběh funkcí:
www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D+x%2B2
www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D+1%2Fx%5E3
• Nejprve jsem si myslel, že se bude počítat plocha mezi přímkou x=0 a přímkou a "hyperbolou":
zjistím kde se funkce protínají:
y=x+2, y= 1/x^3
x+2 = 1/x^3
x^4 + 2*x^3 - 1=0
... zde by se měl vypočítat kořen je x=? (což ale není snadné a nevedlo to k cíli).
Plocha obrazce bude mít jiný tvar než S=S1+S2 (který jsem chtěl integrovat k tomuto bodu - kořeni), toto ale nevedlo k cíli, tak jsem si znovu probral průběhy funkcí.
• Zjistil jsem si hodnoty funkcí v bodě x=1:
y=x+2=1+2=3
y=1/x^3=1/1^3=1
... a je vidět že se bude integrovat od "hyperboly" po přímku v mezích x=1 do x=3:
... z už jde integrál:
<x=1,x=3>
x=<1,3>
S = ∫ ( f1(x)-f2(x) )dx = ∫ ( (x+2)-(1/x^3) )dx
Integrováno bez dosazených mezí:
S = [ (x^2)/2 + 2x - (-(x^-2)/2) ]
Integrováno bez dosazených mezí a upraveno:
S = [ (x^2)/2 + 2x + (x^-2)/2 ]
Dosadíme meze:
S = [ (x^2)/2 + 2x + (x^-2)/2 ]:do 3 - [ (x^2)/2 + 2x + (x^-2)/2 ]:od 1
upravíme:
S = [ 9/2 + 6 + (1/9)/2 ] - [ 1/2 + 2 + 1/2 ]
S = [ 9/2 + 6 + (1/9)/2 ] - [ 3 ]
S = [ 9/2 + 3 + (1/9)/2 ]
S = [ 9/2 + 6/2 + (1/9)/2 ]
S = [ 15/2 + (1/9)/2 ]
S = [ 15*9/(2*9) + 1/(2*9) ]
S = (15*9+1)/(2*9)=68/9
S=68/9
======