Trojice přirozených čísel, úloha
Mám jednu úlohu do matiky, ale nebere mi to hlava :( : trojice přirozených čísel menších než 10 , jejichž součin je 7-mi násobkem jejich součtu ....???? Nemohli byste mě aspon natrknou. ..???
Odpovědi
Diskuze
Vždyť to zadání je poměrně prosté: (a + b + c) . 7 = a . b . c
tedy sedminásobek tří přirozených čísel se rovná součinu týchž přirozených čísel.
A tady mě to trklo:
Součet přirozených čísel je přirozené číslo.
I součin přirozených čísel je přirozené číslo.
Pokud je tento součin sedminásobkem přirozeného čísla, MUSÍ být dělitelný sedmi.
sedmička je prvočíslo (tedy dělitelné pouze sebou samým)
Proto je sedmička jedním ze tří hledaných čísel, 7 = c.
pak ovšem platí, že: 7 . a . b = 7 (7 + a + b) rovnici podělíme sedmi/: 7
dostaneme a . b = 7 + a + b
Aby rovnice platila, musí být součin a . b větší nebo roven číslu většímu nez 7.....a o kolik? Můžem zkoušet... ani a, ani b nebudou rovny jedné ani dvěma, dokonce ani třem, protože
3 . 3 je menší než 7 + 3 + 3
9 je menší než 13 zkusíme čtyři:
4 . 4 je větší než 7 + 4 + 4
16 je větší než 15.... a vida!!!
Kdybychom místo 4 . 4 dali 3 . 5 je rovno 7 + 3 + 5, dostaneme
15 je rovno 15
a můžeme prohlásit, že minimálně pro trojici čísel 3, 5 , 7 vztah platí.
Prověříme si to zkouškou:
(3 + 5 + 7) . 7 = 3 . 5 . 7
15 . 7 = 15 . 7 a už vidíme, že je vymalováno neboť ........ 105 = 105
Neberte to prosím jako výpočet, jde o logickou úvahu. Doporučoval bych zkusit i jiné kombinace ale nedomnívám se že se v tom dá uspět, protože ta nerovnost, která nás vedla k cíli se může pouze prohlubovat ve prospěch součinu na levé straně v neprospěch součtu na straně pravé.
Vzhledem k tomu že je to logická úvaha, mám nelibý pocit, že jsem ji snad dostatečně nevysvětlil, ale pokud si postup projdete několikrát, uvidíte, že asi k jinému výsledku nedojdete.... (a není to trik, pouze kousek přemýšlení).....zlomte vaz.
kategorie Z8!!!
Takže: 4ísla označíme a,b a c. Pak tedy platí rovnost:
a.b.c=7.(a+b+c)
tzn, že jedno z čísel je 7 a součin zbylích dvou je součtem všech :
b.c=7+b+c
pak si uděláme tabulku (huuuuh tak to bude ale záááááhul)
b 1 2 3 4 5 6 7 8 9
c n n 5 n n n n n 2
7+b+c n n 15n n n n n 18
b.c n n 15n n n n n 18
Tzn, že vyhovuje pro čísla 7,5,3 a 7,2,9. "n" znamenáí že někde nevýjde celé číslo nebo číslo větší než 10, a tím pádem rovnou celí příklad padá! :)