matematika
matematika
1. Rozhodni o jakou kuželosečku se jedná a urči její parametry 25x2
+ 4y2
-12y -91 = 0
2. Napiš rovnici kružnice opsané trojúhelníku KLM, kde K[-1;3];L[0;2];M[-1;-1].
3. Napiš analytické vyjádření paraboly s ohniskem F[4;-2] a řídící přímkou d: y = 4.
4. Urči hodnotu m tak, aby přímka p: 2x – y + m= 0 byla tečnou hyperboly 8x2
– 9y2
= 144.
prosím o pomoc
1. Rozhodni o jakou kuželosečku se jedná a urči její parametry 25x2
+ 4y2
-12y -91 = 0
2. Napiš rovnici kružnice opsané trojúhelníku KLM, kde K[-1;3];L[0;2];M[-1;-1].
3. Napiš analytické vyjádření paraboly s ohniskem F[4;-2] a řídící přímkou d: y = 4.
4. Urči hodnotu m tak, aby přímka p: 2x – y + m= 0 byla tečnou hyperboly 8x2
– 9y2
= 144.
prosím o pomoc
Odpovědi
Diskuze
x i y jsou ve druhé mocnině -> kružnice, elipsa nebo hyperbola
znaménka u x^2 a y^2 jsou stejná -> kružnice nebo elipsa
násobky před x^2 a y^2 jsou různé -> elipsa
Převeď tu rovnici na tvar: (x-m)^2/a^2 + (y-n)^2/b^2 = 1
a máš parametry té elipsy - střed v [m,n], délka hlavní poloosy "a", délka vedlejší poloosy "b".
4.
Bod dotyku tečny je jak bodem přímky, tak hyperboly. Jeho souřadnice x,y musí tedy vyhovovat oběma rovnicím -> soustava 2 rovnic s parametrem m zvoleným tak, aby vyšlo jen jedno řešení x (a k němu dopočítané příslušné y). Jedno řešení v kvadratické rovnici vyjde, když diskriminant bude 0.
2x – y + m= 0
8x^2 – 9y^2 = 144
-----------------
y = 2x + m
8x^2 – 9(2x + m)^2 = 144
8x^2 - 36x^2 - 36mx - 9m^2 - 144 = 0
28x^2 + (36m)x + (144 + 9m^2) = 0 ; kvadr.rovnice pro proměnnou x
D = b^2 - 4ac = (36m)^2 - 4.28.(144 + 9m^2)
D musí být 0
(36m)^2 - 4.28.(144 + 9m^2) = 0
4^2.9^2.m^2 - 4.4.7.[9.(16 + m^2)] = 0 ; vydělit (4^2).9
9m^2 - 7.(16 + m^2) = 0
2m^2 = 7.16
m^2 = 7.8
m = 2.odm(14)
Fuj, to je ale ošklivé číslo pro školní příklad. Chybu ve výpočtu ale nikde nevidím :-(
3.
přečti si to na Wikipedii: https://cs.wikipedia.org/wiki/Parabola_(matematika)#Kart%C3%A9zsk%C3%BD_sou%C5%99adnicov%C3%BD_syst%C3%A9m
2.
střed kružnice leží na průsečíku os stran; poloměr je vzdálenost středu a libovolného bodu trojúhelniku.
- vyjádři si parametr. rovnici přímky/jedné strany trojúhelníku
- najdi její střed (vhodnou volbou parametru t)
- napiš parametr.tvar přímky kolmé na tuto přímku (prohození koeficientů směrového vektoru) procházející nalezeným středem strany
- proveď předchozí 3 kroky pro jinou stranu trojúhelníku
- najdi průsečík (společný bod) těchto kolmic na strany
- máš střed S[m;n] opsané kružnice
- poloměr je r = |SA|
- rovnice kružnice je: (x-m)^2 + (y-n)^2 = r^2
Obdobně se počítá tvůj druhý dotaz: https://www.ontola.com/cs/ondi/dsskae/matematika-prosim-o-pomoc
25x^2 + 4y^2 - 12y - 91 = 0
25x^2 + 4(y^2 - 3y) = 91
25x^2 + 4(y^2 - 2.(3/2)y + (3/2)^2 - (3/2)^2) = 91
25x^2 + 4{[(y-(3/2)]^2 - (3/2)^2} = 91
25x^2 + 4[(y-(3/2)]^2 - 4.(3/2)^2 = 91
25x^2 + 4[(y-(3/2)]^2 = 100
x^2/2^2 + [(y-(3/2)]^2/5^2 = 1
Střed elipsy v S[0;3/2]
hlavní poloosa a=2
vedlejší poloosa b=5
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+25x%5E2+%2B+4y%5E2+-+12y+-+91+%3D+0
Z grafu je vidět, že S,a,b souhlasí.