Nerovnice s absolutní hodnotou
Ahoj, potřebovala bych pomoct s tímhle příkladem: |x+3|-2|1-x| ≤x
Děkuji
Děkuji
Odpovědi
Diskuze
Při analýze rovnic si nejdříve musíme ověřit podmínky řešitelnosti. V našem případě zřejmě budeme hledat řešení v R.
Dále si všimneme absolutních hodnot s neznámými, s nimiž rovnice operuje, a určíme hodnoty, při nichž by výraz uprostřed absolutní hodnoty měnil znaménko.
Výraz x+3 mění znaménko v hodnotě -3.
Výraz 1-x mění znaménko v hodnotě 1.
Hodnoty -3 a 1 nám tedy rozdělí reálnou osu na tři po dvojcích disjunktní intervaly I1 = (-∞,-3>, I2 = (-3,1> a I3 = (1, ∞).
Rovnici nyní musíme řešit ve třech větvích postupně na intervalech I1, I2, I3, kdy podmínkou řešitelnosti každé větve bude ta, že neznámá spadá do daného intervalu.
Rovnici si upravíme do podoby |x+3| ≤ x + 2|1-x|.
1: řešení pro interval I1 = (-∞,-3>
Jelikož víme, že x je menší nebo rovno -3, jsme schopni všechny absolutní hodnoty z rovnice odstranit. Kde by po dosazení hodnoty z intervalu byl výraz v absolutní hodnotě záporný, tam nahradíme |.| za -(.), jinde zaměníme |.| za (.).
|x+3| ≤ x + 2|1-x|
-(x+3) <= x + 2(1-x)
-x-3 <= x + 2 - 2x
-5 <= 0
Toto platí vždy, proto provedeme průnik výsledku s podmínkami řešitelnosti.
x ∈ R ∩ (-∞,-3> = (-∞,-3>
2: řešení pro interval I2 = (-3, 1>
|x+3| ≤ x + 2|1-x|
(x+3) <= x + 2(1-x)
x+3 <= x + 2 - 2x
1 <= -2x
-1/2 >= x
Výsledkem je interval (-∞,-1/2>, provedeme jeho průnik s podmínkami řešitelnosti.
x ∈ (-∞,-1/2> ∩ (-3, 1> = (-3, -1/2>
3: řešení pro interval I3 = (1, ∞)
|x+3| ≤ x + 2|1-x|
(x+3) <= x - 2(1-x)
x+3 <= x - 2 + 2x
5 <= 2x
5/2 <= x
Výsledkem je interval <5/2, ∞), provedeme jeho průnik s podmínkami řešitelnosti.
x ∈ <5/2, ∞) ∩ (1, ∞) = <5/2, ∞)
Výsledkem je sjednocení všech řešení (-∞,-3> ∪ (-3, -1/2> ∪ <5/2, ∞) = (-∞, -1/2> ∪ <5/2, ∞).