VŠ Matematika - výpočet délky řemene dvou kol.

Anonym50725920.02.2013 00:44 Nahlásit
Ahoj. Mohl by mi prosim někdo pomoci s následující slovní úlohou do matematiky? Jediné co vim, že se má počítat pomocí Thaletovy kružnice.
Př.: Dvě kola o poloměrech r1 cm, r2 cm, jejich středy mají vzdálenost c cm, se mají spojit řemenem. Jak dlouhý bude řemen, otáčejí-li se kola v témže smyslu? Úlohu vyřešte nejprve obecně, včetně podmínek, číselných oborů i příslušných jedotek. Konkrétní řešení pak s přesností na čtyři desetinná místa, jestliže r1=20, r2=11, c=33

Předem díky, už si vážně nevím rady a moc by mi to pomohlo :(

Odpovědi

Přidat odpověď ▾

Diskuze

Cenobita.20.02.2013 10:09 Nahlásit
Tečna ke kružnici se skutečně řeší pomocí Thaletovy kružnice. Ale v tomto případě jde o sestrojení tečny ke dvěma kružnicím.

Thaletovu kružnici sestrojíš pouze když najdeš bod X, kterým vedená přímka je k oběma kružnicím tečnou (tečnami - má dvě řešení). Tento bod X najdeš podle vztahu: r1/x1=r2/x2, kde x2-x1=c

Doporučuji udělat obrázek a vyzkoušet si ty poměry co jsem tu napsal. Když goniometricky vyřešíš bod X, pak už Thaletovou kružnicí snadno najdeš body dotyku tečny T1 a T2 a sestrojíš tečnu (tečny - dvě řešení). Pokud znáš tyto tečny, můžeš goniometricky nebo analyticky řešit délku opásání pásem.

PS: bohužel se to zde nedá snadno graficky zobrazit.
Uphillman20.02.2013 10:18 Nahlásit
Zatím jen napovím, protože se mi nechce moc psát.

Pro jednoduchost předpokládejme, že r1 > r2.
Střed většího kola si označím s1, druhého s2.
Oba středy leží na vodorovné přímce, budu se zatím zajímat jen o to co leží nad tou přímkou.
Řemen se dotýká v nějakých bodech, označím si je t1 u většího kola a t2 u menšího.

A teď to kouzlo.
Natažený řemen mezi koly leží na tečně obou kol. Jinými slovy je mezi úsečkou (s1,t1) a tečnou v bodě t1 pravý úhel a mezi úsečkou (s2,t2) a tečnou v bodě t2 taky pravý úhlel. Přižemž ta tečna je v obou případech ta samá přímka.

Co se stane, kdybych teď namaloval přímku procházející středem s2 a paralelní s tou tečnou?
Nová přímka by proťala úsečku (s1, t1) v bodě, označím si ho třeba "p".
Takto vzniklý trojúhelník (s1, p, s2) je pravoúhlý v bodě p, známe délku jeho přepony (s1,s2), to je vzdálenost "c" a známe délku jedné jeho strany (s1,p), ta vzdálenost je r1-r2.
Z toho můžeme vypočítat úhlel při vrcholu s2 (označme si ho alfa).
sin(alfa) = (r1 - r2)/c
Protože má každý trojúhleník součet vnitřních úhlů 180°, tak známe všechny úhly v trojúhleníku a tím i úhel mezi osou (s1,s2) a bodem úsečkou (s1, t1) popř. (s2, t2).
Z trojúhelníku vypočítáme také délku řememu v místech, kde se řemen nedotýká kol, je to ta další odvěsna trojúhleníku.

Chce to namalovat obrázek, pak to bude jasné.
Přidat komentář do diskuze ▾