Matematika - olympiáda - kategorie C
Ahoj, potřeboval bych pomoci s matematickou olympiádou - kategorie C - do konce prázdnin to musíme mít celá třída vše vyřešené a já si nevím rady se dvěma příklady:
1) Číslo n je součinem tří RŮZNÝCH prvočísel. Zvětšíme-li dvě menší z nich o 1 a největší necháme nezměněno, zvětší se jejich součin o 915 - určete číslo n.
2)Ve čtverci ABCD označme K střed strany AB a L střed strany AD. Úsečky
KD a LC se protínají v bodě M a rozdělují čtverec na dva trojúhelníky a dva
čtyřúhelníky. Vypočtěte jejich obsahy, jestliže úsečka LM má délku 1 cm.
Moc děkuji za jakékoli odpovědi
1) Číslo n je součinem tří RŮZNÝCH prvočísel. Zvětšíme-li dvě menší z nich o 1 a největší necháme nezměněno, zvětší se jejich součin o 915 - určete číslo n.
2)Ve čtverci ABCD označme K střed strany AB a L střed strany AD. Úsečky
KD a LC se protínají v bodě M a rozdělují čtverec na dva trojúhelníky a dva
čtyřúhelníky. Vypočtěte jejich obsahy, jestliže úsečka LM má délku 1 cm.
Moc děkuji za jakékoli odpovědi
Odpovědi
Diskuze
a=1;b=13;c=61;a*b*c=793
a=2;b=14;c=61;a*b*c=2*14*61=1708
793+915=1708
PS: úloha má však více řešení např.
a=3;b=11;c=61;a*b*c=2013
PS: ale není vyloučeno, že nějaký obecný algoritmus může existovat a nebyl ještě odvozen, otázkou zůstává, zda se vyplatí jej hledat. Pokud by se to vyplatilo, již by byl dávno objeven.
viz
https://www.ontola.com/cs/di/urcete-cislo-n
Čtverec
--------------------------------------------------------------------------------
Ve čtverci ABCD označme K střed strany AB a L střed strany AD.
Úsečky KD a LC se protínají v bodě M a rozdělují čtverec na dva trojúhelníky a dva čtyřúhelníky.
Vypočtěte jejich obsahy, jestliže úsečka LM má délku 1 cm.
--------------------------------------------------------------------------------
(a/2)^2 + a^2 = (c1+c2)^2; (1a.r)
5/4*a^2 = c1^2 + 2*c1^2*c2 + c2^2; (1.r)
---
(a/2)^2 = c1^2 + v^2; (2a.r)
a^2 = c2^2 + v^2; (2b.r)
(a/2)^2 = c1^2 + a^2 - c2^2
c2^2 - c1^2 = a^2 - (a/2)^2
c2^2 - c1^2 = 3/4*a^2; (2.r)
---
(1.r) & (2.r)
a^2 = 4/5*(c1^2 + 2*c1*c2 + c2^2)
a^2 = 4/3*(c2^2 - c1^2)
3*(c1^2 + 2*c1*c2 + c2^2) = 5*(c2^2 - c1^2)
4*c1^2 + 3*c1*c2 - c2^2 = 0
===========================
c1=1 cm
c2^2 - 3c2 - 4 = 0
c2(1,2) = (3 +/- sqr(9+16))/2
c2(1,2) = (3 +/- 5)/2
c2(1) = 4
c2(2) = -1
---
v^2 = c1*c2 = 1*4 = 4
v=2 cm
======
---
(a/2)^2 = c1^2 + v^2; (2a.r)
(a/2)^2 = 16 + 4 = 20
S1 = c1*v/2 = 1*2/2 = 1
S1 = 1 cm2
==========
S1 + S2 = 1/4*a^2 = 20 cm2
S2 = 1/4*a^2 - S1 = 20 - 1 = 19
S2 = 19 cm2
===========
S2 + S3 = 3/4 a^2 = 60 cm2
S3 = 3/4 a^2 - S2 = 60 - 19 = 41
S3 = 41 cm2
===========
S3 + S4 = 3/4 a^2 = 60 cm2
S4 = 3/4 a^2 - S3 = 60 - 41 = 19
S4 = 19 cm2
===========
S1 + S4 = 1/4*a^2 = 20 cm2
S4 = 1/4*a^2 - S1 = 20 - 1 = 19
S4 = 19 cm2
===========
--------------------------------------------------------------------------------
Kontrola:
S=a*a=4*(a/2)^2=4*20=80 cm2
S=S1+S2+S2+S4
S=1+19+41+19=80 cm2
--------------------------------------------------------------------------------
Content-Type: image/png;
name="=?iso-8859-2?Q?007.=28=E8tverec=29.png?="
Content-Transfer-Encoding: base64
Content-Disposition: attachment;
filename="=?iso-8859-2?Q?007.=28=E8tverec=29.png?="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a=1;b=13;c=61;a*b*c=793
a=2;b=14;c=61;a*b*c=2*14*61=1708
793+915=1708
PS: úloha má však více řešení např.
a=3;b=11;c=61;a*b*c=2013
díky za vyřešení, ale jen pro pořádek: n je součin tří PRVOČÍSEL a 1 není prvočíslo ;)
http://cs.wikipedia.org/wiki/Prvo%C4%8D%C3%ADsla
Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné právě dvěma různými přirozenými čísly, a to číslem jedna a sebou samým (tedy 1 není prvočíslo). Přirozená čísla různá od jedné, která nejsou prvočísla, se nazývají složená čísla.
ale někdy se číslo 1 za prvočíslo považuje, nebo považovalo ... tak druhé řešení se stává jediným řešením ...