Správnost příkladů
Ahoj, mohl by se prosím někdo podívat na tyto 2 příklady a říct mi, zda je mám správně?
1. Určete poslední řádek matice [a1, a2, a3] (obrázek) tak, aby následující soustava lineárních rovnic měla:
a. právě jedno řešení
b. nekonečně mnoho řešení
c. žádné řešení
2. Určete obsah plochy mezi křivkami y=x a y=−1 na intervalu [2;4]
Moje výsledky:
1. příklad: a. [0;0;1]
b. [1;2;3]
c. [0;0;0]
U 2. příkladu mi vyšel obsah plochy 8, ale fakt nevím, zda jsem počítal správně (spočítal jsemzvlášť plochy obou křivek na daném intervalu a odečetl je)
Předem díky
1. Určete poslední řádek matice [a1, a2, a3] (obrázek) tak, aby následující soustava lineárních rovnic měla:
a. právě jedno řešení
b. nekonečně mnoho řešení
c. žádné řešení
2. Určete obsah plochy mezi křivkami y=x a y=−1 na intervalu [2;4]
Moje výsledky:
1. příklad: a. [0;0;1]
b. [1;2;3]
c. [0;0;0]
U 2. příkladu mi vyšel obsah plochy 8, ale fakt nevím, zda jsem počítal správně (spočítal jsemzvlášť plochy obou křivek na daném intervalu a odečetl je)
Předem díky
Odpovědi
Diskuze
co se týče prvního příkladu násobení matice A vektorem x takto: A * x = b, máte jej správně.
Pro (a1, a2, a3) = (0, 0, 1) je matice A regulární, její determinant je 8, tedy existuje právě jedno řešení soustavy rovnic.
Pro (a1, a2, a3) = (1, 2, 3) je ale matice A rovněž regulární, tedy nutně musí soustava mít právě jedno řešení. Přijdete na jiný vektor (a1, a2, a3), aby soustava měla nekonečně mnoho řešení?
Pro (a1, a2, a3) = (0, 0, 0) je určitě počet řešení nulový, neboť pro 0 * x_1 + 0 * x_2 + 0 * x_3 = 1 určitě žádné řešení (x1, x2, x3) nemůže existovat.
Co se týče druhého příkladu, nevím, co myslíte tím, že jste počítal plochy křivek na intervalu. Křivka je jednorozměrný objekt, který nemá žádnou plochu.
V tomto případě je potřeba vědět, že jedna z funkcí je na daném intervalu <2, 4> zobrazována do záporných čísel (jde o y = -1). Správně bychom měli vyšetřit, zda tyto funkce protínají osu x, nicméně v tomto případě je zřejmé, že k tomu nedochází.
∫[2, 4](x dx) = 4^2 / 2 - 2^2 / 2 = 6, tedy plocha mezi funkcí y = x a osou x je na zkoumaném intervalu rovna 6.
|∫[2, 4](-1 dx)| = |-4 + 2| = 2, tedy plocha mezi funkcí y = -1 a osou x je na zkoumaném intervalu rovna 2.
Plocha mezi křivkami y = x a y = -1 je tedy na intervalu <2, 4> rovna 8, jak jste správně posoudil.
Gratuluji tedy, že se vám povedlo většinu příkladů správně vyřešit. Zkusíte ještě doplnit ten vektor (a1, a2, a3) pro nekonečně mnoho řešení?
S tím vektorem pro nekonečně mnoho řešení si nevím rady, napadá mě vektor (1;1;1), ale to jen tipuji.
bohužel i při použití vektoru (a1, a2, a3) = (1, 1, 1) by matice A byla regulární. Doporučuji v takovém případě netipovat, pokud nemáte osvojenou teorii. Nic se ale neděje, určitě to dáme nějak dohromady!
Vy musíte zajistit, aby hodnost matice A byla stejná jako hodnost rozšířené matice A|b, ale aby přesto tyto hodnosti byly ostře menší než počet řádků čtvercové matice A.
Doporučuji nastudovat a plně si osvojit Frobienovu větu, která dále hovoří o situacích, kdy soustava má alespoň jedno řešení, a kdy nemá žádné.
Zvolte tedy vektor (a1, a2, a3) tak, aby některé řádky byly lineárně závislé jak v matici A, tak v rozšířené matici soustavy A|b.
Pokud byste zvolil (a1, a2, a3) = (2, 1, 1), je zřejmé, že hodnosti matice A a rozšířené matice soustavy A|b by se lišily, tedy by neexistovalo žádné řešení.
Pokud však zvolíte kupříkladu (a1, a2, a3) = (1, 1/2, 1/2), pak hodnost obou matic bude stejná, nicméně díky lineární závislosti řádků bude nižší než počet řádků matice A, tedy bude existovat nekonečné množství řešení (závislé na takovém množství parametrů, jaký bude rozdíl mezi počtem řádků matice A a její hodností). To si můžete ověřit Gaussovou eliminací.
Snad je to tedy teď zřejmé! Přeji krásný večer.