Ontola > Matematika > diskuze
| Nahlásit

Variace

Zmenší-li se počet prvků o tři (n-3), klesne počet dvoučlenných variací bez opakování z tohoto počtu prvků o tolik (V2 /n-3/), kolik existuje trojčlenných variací bez opakování ze 7 prvků (V3 /7n/). Určete původní počet prvků. Nevíte, jak to řešit? V3 /7n/ = 7!/7-3! = 210? V2 /n-3/ - 210 = 0?
Témata: matematika

1 reakce

(Upraveno 23.09. 20:02) | Nahlásit
Přeji pěkný večer, Anonyme Ganasire.

V kombinatorických příkladech a v rovnicích s faktoriály, kde pracujete s neznámými, z nichž se počítá faktoriál, je vždy třeba nejprve stanovit podmínky řešitelnosti.
Musíme si tedy ujasnit, z čeho budeme tyto podmínky stanovovat.
Variace bez opakování V(k,n) odpovídá takovému počtu jedinečných ktic (kátic), kde se prvky vybírají z množiny n prvků a kde se v ktici žádný prvek neopakuje. Skupina k prvků tedy nemůže obsahovat více než n prvků, proto určitě platí k<=n.
Víme, že počet dvoučlenných variací V(2,n) klesne o V(3,7), pokud zmenšíme n o 3.
Máme tedy nějaký počet variací V(2,n) a pokud odečteme od n 3 (počítáme V(2,n-3)), klesne počet variací o V(3,7).
Platí tedy:
V(2,n) - V(2,n-3) = V(3,7)
Nyní už můžeme stanovit podmínky řešitelnosti.
n >= 2 ∧ n-3 >= 2 ∧ n ∈ N <==> n >= 5 ∧ n ∈ N

V(2,n) - V(2,n-3) = V(3,7)

Nahradíme variace bez opakování za vzorec V(k,n) = n!/(n-k)!

n!/(n-2)! - (n-3)!/(n-3-2)! = 7!/4!
n!/(n-2)! - (n-3)!/(n-5)! = 7!/4!

Využijeme té vlastnosti, že pro n>=1 platí, že n! = n*(n-1)!

(n*(n-1)*(n-2)!)/(n-2)! - ((n-3)*(n-4)*(n-5)!)/(n-5)! = 7!/4!

Než provedeme krácení zlomku, musíme si ověřit, zda ze jmenovatele neodstraňujeme výraz, který by tam mohl vnést dělení nulou, stanovujeme tedy další podmínky.
(n-5)! != 0 ∧ (n-2)! != 0
Jelikož víme, že 0! = 1, 1! = 1 a dále je posloupnost roustoucí a pro menší čísla než 0 není faktoriál definován, můžeme zlomky pokrátit, protože podmínky nemůžou být nikdy porušeny.

n*(n-1) - (n-3)*(n-4) = 7!/4!
n^2 - n - n^2 + 7n - 12 = 7*6*5
6n - 12 = 210
n = 37

Hodnota n činí 37, což je v souladu se stanovenými podmínkami řešitelnosti.
Přeji tedy pěkný zbytek večera a neváhejte se ozvat, pokud bude něco nejasné!
 Anonym
Odpovídat lze i bez registrace. Dodržujte pravidla Ontoly
Vložit: Obrázek