grafické znázornění kvadratické nerovnice
x²+5x+7 > 0
Z toho v pohodě dojdu na diskriminant, který je tedy - 3. Z čehož lze udělat 3i² a vřešení x1,2 mi vyšlo: -5/2 +- i odmocnin ze 3 /2. Nemohu se dohrabat ke grafu. V řešení od prof. mám, že x² + 5x + 25/4 - 25/4 + 7 > 0, cože je (x+5/2)² + 3/4 > 0.
Můj dotaz vlastně zní, kde ona vzala těch 25/4? Jak tedy přišla na to, že parabola bude posunuta na -5/2 po ose x a o 3/4 na ose y?
Z toho v pohodě dojdu na diskriminant, který je tedy - 3. Z čehož lze udělat 3i² a vřešení x1,2 mi vyšlo: -5/2 +- i odmocnin ze 3 /2. Nemohu se dohrabat ke grafu. V řešení od prof. mám, že x² + 5x + 25/4 - 25/4 + 7 > 0, cože je (x+5/2)² + 3/4 > 0.
Můj dotaz vlastně zní, kde ona vzala těch 25/4? Jak tedy přišla na to, že parabola bude posunuta na -5/2 po ose x a o 3/4 na ose y?
Odpovědi
Diskuze
x²+5x+7=0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%C2%B2%2B5x%2B7%3D0
x²+5x+7>0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%C2%B2%2B5x%2B7+%3E+0
y=x²+5x+7
y'=2x+5
položíme y'=0 {hledáme lokální extrém - lokální minimum nebo lokální maximum}
0=2x+5
x=-5/2 to je bod kde bude vrchol paraboly (onen posun)
posun po ose y už je jednoduchý:
stačí dosadit jednu souřadnici so známe, do rovnice funkce: y=x²+5x+7
y=(-5/2)²+5*(-5/2)+7
y=(-25/4)+7
y=(-25/4)+28/4 = 3/4
y=3/4
=====
V[-5/2,3/4] {vrchol paraboly}
Jde o to, doplnit ten základní tvar kvadratického trojčlenu tak, aby jeho část šla "prohlásit" za druhou mocninu dvojčlenu - takový šikovný umělý obrat:
Když máš rovnici paraboly
y = x² + bx + c,
vždycky můžeš prohlásit, že b = -2t (tj. t = -b/2) a na levé straně přičíst a zároveň odečíst t², takže dostaneš
y = x² - 2tx + t² - t² + c
a tam jasně vidíš (aspoň doufám :-), že
x² - 2tx + t² = (x - t)²
a to, co zbude, je už jen konstanta
-t² + c = k
Takže dostaneš
y = (x - t)² + k
potom k převedeš na druhou stranu a máš krásný tvar
(y - k) = (x - t)²
No a tam to k a t už přímo ukazuje posuv počátku paraboly (protože pro x=t a y=k dostaneš bod [0,0], což je v neposunutém grafu ten vrchol).
t = -b/2 (posuv v x = -5/2)
k = -t² + c = -(b²/4) + c (posuv v y = 3/4)
A to se dostávám k jádru dotazu, kde se vzalo těch 25/4. To je to b²/4 - prostě takové číslo, aby ten rozklad podle vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu šel udělat.
Takhle přesně popsané to možná vypadá složitě, ale není to tak hrozné - hlavně jde o to doplnit tam tu druhou mocninu dvojčlenu - na koeficient u x se podívat jako na -2t a pak přičíst a odečíst t². Zbytek už jde sám :-)
P.S.: Samozřejmě to jde i tak, jak napsal Cenobita, to jeho řešení je správné. Ale proč používat vyšší matematiku tam, kde to není potřeba a kde ji často dotyčný ještě dlouho ani nebude znát…
y'=2x+5;y'=0 {hledáme lokální extrém - lokální minimum nebo lokální maximum}
0=2x+5
x=-5/2 to je bod kde bude vrchol paraboly (onen posun)
1. Běžný žák či mladší student, jak jsem psal, derivace a jejich použití nezná. Takže jakkoli krásné řešení na dvou řádcích, je mu k ničemu. K výpočtu obsahu čtverce bys poradil použít integrál?
2. To, co jsem napsal, je tak dlouhé proto (jak jsem konec konců taky na závěr poznamenal), aby to bylo přesné a podrobně vysvětlené. V praxi bych na to nepotřeboval ani ty dva řádky - prostě bych to spočítal zpaměti a rovnou napsal výsledek. Ale o to tady přece nejde.
Jenže s tebou asi fakt nemá cenu diskutovat <smajlík-vyjadřující-rezignaci-a-beznaděj>
Xewerob - Nějaký dobrý kamarád matematik by se mi hodil. ;) Díky.