goniometrická rovnice
Poradil by mi prosím někdo s tímto příkladem: tgx-sinx+cosx=1
zkoušela jsem tgx napsat jako sinx/cosx ale nedovedlo mě to k výsledku...
zkoušela jsem tgx napsat jako sinx/cosx ale nedovedlo mě to k výsledku...
Odpovědi
Diskuze
tgx*tgx - tgx*sinx + cosx*tgx = tgx
tgx*tgx - tgx*sinx + sinx = tgx
tgx*tgx + (1 - tgx)*sinx = tgx
tgx + (1/tgx - 1)*sinx = 1
1 + (1/tgx - 1)*sinx/tgx = 1/tgx
(1/tgx - 1)*sinx/tgx = 1/tgx - 1
sinx/tgx = 1
sin/(sinx/cosx)=1
cosx=1
======
x=0°
=====
kontrola:
tgx - sinx + cosx = 1
sinx/1 - sinx + 1 = 1
1=1 > OK
====
Rovnice sice platí pro x=0 (což je vidět už na začátku), až potud OK. Ale v průběhu řešení rovnici zvesela pořád dokola násobíš i dělíš nulou (tg(0) = 0), což je nepřípustné – to samozřejmě nejsou ekvivalentní úpravy.
Takže výsledek je (náhodou) správně, ale postup je naprosto nepřijatelný.
P. S.: čímž nechci říct, že mám v tuto chvíli lepší postup, není právě čas něco vymýšlet. Nic to ale nemění na tom, že uvedený postup je nepoužitelný a vůbec neměl být publikován.
Zajímavý příklad :-(
Ale to není podstatné – podstatné je, že tys dělal během řešení neekvivalentní úpravy, na konci sis to nezkontroloval, a vzniklý paskvil vydáváš za řešení.
To je to, o čem mluvím! Fakt není důležité, jestli si někdo (náhodou) všiml jednoho řešení.
Pokud se totiž používají goniometrické vzorce správně, tak se může i dělit funkcí tgx, protože:
1/tg²x + 1 = 1/sin²x
http://cs.wikipedia.org/wiki/Goniometrick%C3%A1_funkce
To ale není důvod, proč paskvil neoznačit jako paskvil. To jsou dvě naprosto nesouvisející věci.
Funkcí tg(x) samozřejmě dělit můžeš, to nikdo nepopírá. Ale když ti pak vyjde řešení x=0, je prostě postup neplatný. Tečka, hotovo.
Je to némlich totéž, jako kdybys při úpravě dělil rovnici třeba členem (x-2) a pak ti řešení vyšlo x=2.
Nulou se nedělí, co na tom chceš ještě rozebírat??? Není to trochu pod tvou důstojnost? No, asi není :-(
Já nic nerozebírám, jen říkám, že je postup správný, čekám tedy na jiný.
např:
cox(x) = 1
cox(x)/sin(x) = 1/sin(x)
sin(x)/cox(x) = sin(x)
tg(x)=sin(x)
1/tg(x)=1/sin(x)
stále je to správně, stále není v úpravě chyba
Cenobita napíše totální kravinu, někdo to odhalí a zdůvodní, aby tazatel nebyl nadále uváděn v nebezpečný omyl – v tomto případě se jedná o učivo 5. třídy: nulou nelze dělit.
Na "normálním" fóru by autor omylu uznal chybu a třeba by pak společně s kritikem našli skutečné řešení. Ne tak zdejší prominentní hlupák: argumenty nečte, fakta ignoruje, mele nějaké rádoby důvody na podporu svého původního omylu a to vše jen pro ještě větší zmatek původního tazatele.
Diskuse s ním se mnohokrát již ukázala jako naprosto bezcílná a beznadějná.
Proč je tomu tak?
Překvapivě to není až tak moc problém Cenobitův – on za svou hloupost nemůže. Je to bohužel politika admina Ontoly.
Na normálním diskusním fóru by už takový "autor" byl dávno zabanovaný a nekazil by soustavně jeho úroveň. Ontola je ovšem komerční server (a to není špatně nebo dobře, to je prostě fakt) a z tohoto pohledu je Cenobita převážně užitečný – vyplodí SPOUSTU odpovědí, podporuje koloběh, udržuje návštěvnost.
Co na tom, že spousta těch odpovědí je nekvalitní nebo vyloženě chybná a že se hádá jako malej Jarda. To není na serveru tohoto typu až tak důležité, důležitá je návštěvnost. A ta se odvíjí od podílu (nějak) zodpovězených dotazů. Kolik lidí se zde dočetlo cenobitovskou kravinu a jaké s tím pak případně měli problémy, to už se nikdo nedozví (a nikoho to asi ani nezajímá).
Admin tedy vysoce produktivního hlupáka nezabanuje, byl by sám proti sobě – to prosím neberte jako nějaký negativní postoj vůči adminovi, on se prostě chová racionálně, toť vše. A z tohoto úhlu je potřeba kvalitu zdejších příspěvků vidět, primární je kvantita.
No a lidé, kteří tak nějak z podstaty věci více lpějí na té kvalitě, odcházejí. Vědí, že admin s tím nic dělat nebude, je to jeho server a jemu to tak vyhovuje. Jejich problém, samozřejmě…
tgx - sinx + cosx = 1
tgx + sinx*(-1 + cosx/sinx) = 1
tgx*cotgx + sinx*(cotgx - 1)*cotgx = cotgx
1 + sinx*(cotgx - 1)*cotgx = cotgx
sinx*(cotgx - 1)*cotgx = (cotgx - 1)
sinx*1*cotgx = 1
sinx*1*cosx/sinx = 1
cosx = 1
========
Matematika není otázkou víry, v matematice hovoří fakta. Například: dělení nulou není definované a není to tudíž ekvivalentní úprava rovnice. To je FAKT, to není věc víry.
A ty jako zabedněnec zase řešíš tu rovnici tak, že (na třetím řádku) dělíš nulou: cotg(x)= cos(x)/sin(x), což je pro x=0 nedefinované. Kolikrát bude ještě potřeba to napsat, než to uznáš (nebo dokonce pochopíš)?
Tudy prostě cesta nevede. Nehledě na to, že tohle "řešení" není úplné – viz výše wolframalpha.com, jindy jeho výsledky tak rád odkazuješ :-)
Opakuji, že momentálně nevím, jak to řešit. Ale rozhodně ne dělením nulou.
Chybné řešení neobhájíš tím, že někdo druhý nezná to správné.
(já vím, je to marný, je to marný, je to marný… Viz též https://www.ontola.com/cs/di/jeho-snaha-pripominala-boj)
Těžko se nechám poučit řešiteli, kteří řešení neznají.
2. řešení
tgx - sinx + cosx = 1
sinx/cosx - sinx + cosx = 1
sinx(1/cosx - 1) = (1-cosx)
sinx(1-cosx)/cosx = (1-cosx)
sinx/cosx = 1
tgx=1
=====
x=45°
=====
Ještě to má třetí řešení tak uvidíme, zda to nějaký MATEMATIK najde :-)
3) x=5/4*Pi
nespadl jsi někdy v dětství na hlavu?
Co jsem uvedl je správně, akorát ostatní nohsledi a patolízalové dokola papouškují, že se nesmí dělit nulou a vlastní řešení nemají, a místo jasného matematického důkazu a postupu se uchylují k urážení.
Zde je důkaz, že nesprávně chápete a aplikujete neurčité výrazy:
cosx=1/tgx
1/cosx=tgx
1=sinx
x=+Pi/4
x=-Pi/4
=======
... tak kdo mi dokáže, že je to špatně? Výrazy typu: "paskvil", "zabedněnec", "spadl na hlavu" ovšem jako matematické důkazy nemohu připustit.
Ve svém původním řešení dělíš celou rovnici výrazem tg(x) a nakonec ti vyjde x=0.
Kolik je tg(x) pro x=0??
tg(0) = 0.
Čím jsi dělil rovnici? Dělil jsi tg(0), tj. NULOU!!!!!
Takže celý postup je nepoužitelný.
Je pro tebe dostatečný důkaz dělení nulou, když jsi dělil hodnotou tg(0), která je = 0 ???
Co chceš ještě vidět? Tohle opravdu nepochopí jen zabedněnec na hlavu padlý. A řešení, které dělí nulou a pak se tváří seriózně, JE paskvil. Ještě nějaký problém?
P.S.: zabedněnost ovšem nelze matematicky dokázat, to máš pravdu. To prostě každý vidí :-)
P.P.S.: DOCELA JINÝ PŘÍPAD je tvé řešení z neděle 00:58, to je SPRÁVNÉ (i když ne úplné). Jen mu chybí drobný detail, u goniometrických rovnic obvyklý: vyjádření periodicity řešení.
Takže úplně správně: x = 45° + n*180° = π/4 + nπ, n∈Z
P.P.S.: Ale nevěš svou z dětství naraženou hlavu :-), správné řešení už mám. Je ovšem trochu delší. Takže vydrž, pro klid duše ho sem napíšu, jen to chvíli potrvá.
A předesílám, že se v něm – světe div se – nedělí nulou :-)))
cos(x) - sin(x) = √2(1/√2 * cos(x) - 1/√2 * sin(x))
cos(x) - sin(x) = √2(cos(π/4)cos(x)-sin(π/4)sin(x))
pravá strana je standardní součtový vzorec cos(a-b)
[1]: cos(x) - sin(x) = √2cos(π/4+x)
cos(t) + sin(t) = √2(1/√2 * cos(t) + 1/√2 * sin(t))
cos(t) + sin(t) = √2(sin(π/4)cos(t) + cos(π/4)sin(t))
pravá strana je standardní součtový vzorec sin(a+b)
[2]: cos(t) + sin(t) = √2sin(π/4+t)
a ještě dvě substituce, taky se budou hodit:
p = π/4
t = x+p
A včil ta naše rovnice:
tgx - sinx + cosx = 1
sinx/cosx + √2cos(π/4+x) = 1 //podle [1]
sin(x+p-p)/cos(x+p-p) + √2cos(p+x) = 1
sin(t-p)/cos(t-p) + √2cos(t) = 1
čitatel i jmenovatel rozložíme podle součtového vzorce
(sin(t)cos(p) - cos(t)sin(p))/(cos(t)cos(p) + sin(t)sin(p)) + √2cos(t) = 1
protože je cos(p) = sin(p) = 1/√2, všechny tyhle členy můžeme ve zlomku vtknout a vykrátit. Zůstane:
(sin(t) - cos(t))/(cos(t) + sin(t)) + √2cos(t) = 1
na společný jmenovatel
(sin(t)-cos(t)+ √2cos²(t)+√2sin(t)cos(t))/(cos(t) + sin(t)) = 1
v čitateli přičteme a odečteme cos(t)
(sin(t)+cos(t)-2cos(t)+ √2cos²(t)+√2sin(t)cos(t))/(cos(t) + sin(t)) = 1
první dva členy oddělíme do samostatného zlomku, který se ovšem vykrátí do jedničky:
1 + (-2cos(t)+ √2cos²(t)+√2sin(t)cos(t))/(cos(t) + sin(t)) = 1
(-2cos(t)+ √2cos²(t)+√2sin(t)cos(t))/(cos(t) + sin(t)) = 0
čitatel musí být = 0
-2cos(t)+ √2cos²(t)+√2sin(t)cos(t) = 0
√2cos(t) (-√2 + cos(t) + sin(t)) = 0
což platí, když buď
a)
cos(t)=0
t = nπ + π/2
x = nπ + π/4, n∈Z
==================
nebo
b)
cos(t) + sin(t) = √2
√2sin(π/4 + t) = √2 //podle [2]
sin(p + t) = 1
sin(x + 2p) = 1
x + 2p = 2nπ + π/2
x + π/2 = 2nπ + π/2
x = 2nπ, n∈Z
==============
Trochu pracné, třeba někdo vymyslí něco elegantnějšího…
asi došly gumičky
sin(x)/cos(x) - sin(x) + cos(x) = 1
sin(x) - sin(x)cos(x) + cos^2(x) = cos(x)
sin(x) - sin(x)cos(x) = cos(x) - cos^2(x)
sin(x)(1-cos(x)) = cos(x)(1-cos(x))
sin(x)(1-cos(x)) - cos(x)(1-cos(x))=0
(1-cos(x))(sin(x)-cos(x)) = 0
1. 1-cos(x) = 0 => cos(x) = 1 => x = 2kpi
2. sin(x) - cos(x) = 0 | : cos(x) ≠ 0 => x ≠ pi/2 + kpi
tg(x) - 1 = 0
tg(x) = 1 => x = pi/4 + kpi
tgx - sinx + cosx = 1
tgx - sinx*cosx/cosx + cosx = 1
tgx*(1 - cosx) + cosx = 1
tgx*(1 - cosx) = (1 - cosx)
tgx = 1
x=45°
=====
tgx*(1 - cosx) = (1 - cosx)
(tgx - 1)*(1 - cosx) = 0
(1 - cosx)=0
cosx=1
x=0
===
A pro všechny nactiutrhače: první odvození nemusí být vždy nejlepší, to se musí také uznat. 24.05 00:58 jsem už měl lepší. Bohužel na to druhé jsem přišel až po prvním, to se tak prostě někdy stane. Nicméně nikdo tu nedokázal, že by bylo odvození 23.05 18:30 zcela špatně, protože tgx=1 a dělit jedničkou je možno. Prostě tu nejde o řešení problému, ale erupce sprosťáren postpubescentů.
ale už taky psal že je to zbytečný. Fakt jo, s k.k.tem se nedomluvíš.
To přece není a nebylo pravda (i když se to tak na konci výpočtu jeví, když víme, že x=0), já obě strany rovnice stejně upravoval a dělil a násobil funkcemi sinx, cosx a tgx v průběhu výpočtu jsem přece nikde nevzal konstantu tg(0), ale vzal jsem funkci tgx. Z toho plynou ty spory. Jinak by mi přece nevyšlo cosx=1 což je správně. Na druhou stranu jsem také na pochybách, ale ať dělám co dělám nevidím v úpravě chybu, upravuji funkcemi a ne konstantou.
Kdyby platilo, že výsledek ovlivňuje průběh výpočtu tak to bych, musel ještě více probádat, připouštím, že dělám chybu, ale na druhou stanu o ní nejsem přesvědčen i když mi budete nadávat, to se musí dokázat.
jasně, v průběhu výpočtu JEŠTĚ nevíš, jak to vyjde, ale v KAŽDÉM kroku úprav musíš přemýšlet o podmínkách, za kterých je úprava ekvivalentní, tj. přijatelná. Když jsi dělil rovnici výrazem tg(x), měla tam být v závorce poznámka "za předpokladu, že tg(x) není =0 (všimni si, že Vlaďka podobnou poznámku ve třetím řádku odspodu má). A až je hotovo, musíš ZPĚTNĚ zkontrolovat, jestli všechny podmínky byly dodrženy. V tvém případě nebyly.
v takovém případě je třeba říct, že odvození je neplatné, i když formálně (co se týče samotných úprav) samozřejmě bezchybné - tam není chyba v těch operacích, ale v těch nesplněných podmínkách. Z toho ovšem neplyne, že výsledek je nutně špatný. ale je nutné ho zkouškou ověřit (což jsi, pravda, udělal).
v tvém případě byl výsledek správný (ale nikoli úplný), postup ovšem neplatný.
Jestli ti celou dobu jde o to, že jsi to nemohl vědět předem, tak ano, nemohl. Ale měl sis to uvědomit na konci odvození a konstatovat, že nějaký výsledek se (náhodou) našel, ale postup není použitelný takže to není Řešení s velkým Ř. To je celé.
poučení: nezapomínejme při úpravách rovnic na podmínky platnosti použitých operací
tgx - sinx + cosx = 1
tgx*tgx - tgx*sinx + cosx*tgx = tgx
tgx*tgx + (1 - tgx)*sinx = tgx
tgx*tgx - (tgx - 1)*sinx = tgx
tgx*tgx - tgx = (tgx - 1)*sinx
tgx*(tgx - 1) = (tgx - 1)*sinx
tgx = sinx
cosx=1
... stále to však vede ke stejnému řešení.
No jak říkám jde to i bez toho dělení, použil jsem to zbytečně, nutné to nebylo jak je vidět.
a=b
a² = ab
a² + a² = a² + ab
2a² = a² + ab
2a² - 2ab = a² + ab - 2ab
2a² - 2ab = a² - ab
2(a² - ab) = (a² - ab)
2=1
:-)
Problém je, že tou neekvivalentní úpravou přijdeš o to druhé řešení. Kam se ti ztratilo? Proč se neobjevilo, tak jako xojivukovi (sice zbytečně složitě, ale bylo tam) nebo Vlaďce?
Anonym Dalycog: názorné
http://www.wolframalpha.com/input/?i=tgx%3Dsinx
Bože to je opruz, pokračování:
1.řešení
sinx = sinx*cosx
0 = sinx*cosx - sinx
0 = sinx*(cosx - 1)
2. řešení
tgx*(tgx - 1) = (tgx - 1)*sinx
sinx*(tgx - 1) = (tgx - 1)*cosx
(sinx-cos)*(tgx - 1) = 0
on nikdy neuzná že udělal chybu
jen teď bude navždycky machrovat co vytěžil z řešení těch druhých
- opakuji: Vlaďka má lepší důkaz a vysvětlení/zdůvodnění, to se musí uznat.
- Řešení je už hodně nahoře 24.05 00:58 (Upraveno dnes 00:46)
- Anonym Dalycog: Přesněji řečeno Vlaďka má stejné odvození, jaké jsem udělal už: 24.05 00:58 (Upraveno včera 09:52), ale má lepší důkaz a vysvětlení/zdůvodnění, to se musí uznat.
- Já jsem vlastně ty podmínky (a důkaz) neměl, ještě opakuji pro ty co se na tom pasou: neměl jsem důkaz a Vlaďka měla lepší vysvětlení/zdůvodnění. Mohlo by to stačit, ale bojím se že nebude.
Ještě že tu byl Anonym Dalycog, ten byl aspoň užitečný.
Vlaďka nemá žádný "důkaz" - má prostě a jednoduše správné a kompletní řešení, nic víc, nic míň.
To stejné Xojivuk.
Ty ne (dokud jsi to neupravil podle nich).
Proč kvůli tomu muselo být zapsáno přes 30 příspěvků víš asi jen Ty...
Že ti musel Dalycog vysvětlovat základní principy, to mě překvapuje, očekával bych (ale upřímně, to není ironie), že tyhle triviální fakta znáš, když jinak zjevně jakýsi přehled přes M a F máš.
Ale máš pravdu, že tyhle příspěvky byly docela konstruktivní a něco vysvětlily. A víš proč? Protože tam jsi poprvé připustil aspoň náznak pochybnosti nad svým postupem namísto trapného dohadování. A to je cesta k pokroku :-)
BTW, Dalycog jsem já (po smazání kukííís) :-)))