Příklad z matematiky
Ahojky :) mám tu následující příklad z matematiky a za boha nemůžu přijít na řešení...nemohl by mi někdo poradit? třeba jen trošku nakopnout :) předem Děkuji
Dokažte, že pro každé liché přirozené číslo n je součet n^4+2n^2+2013 dělitelný číslem 96.
Dokažte, že pro každé liché přirozené číslo n je součet n^4+2n^2+2013 dělitelný číslem 96.
Odpovědi
Diskuze
1@@+2*1@+2013=2016\96=21
3@@+2*3@+2013=2112\96=22
5@@+2*5@+2013=2688\96=28
7@@+2*7@+2013=4512\96=47
---
n=2*x-1 (pro lichá čísla)
n^4+2n^2+2013=
(2*x-1)^4+2*(2*x-1)^2+2013=
16*(x^4 - 2x^3 + 2x^3 - x + 126)=
takže aby bylo číslo dělitelné 96, musí být obsah závorky dělitelný 6, protože 96/16=6 :
f(x^4 - 2*x^3 + 2*x^2 - x + 126)=f(x)=
f(1^4 - 2*1^3 + 2*1^2 - 1 + 126)=f(1)=126\6=21
f(2^4 - 2*2^3 + 2*2^2 - 2 + 126)=f(2)=132\6=22
takže nyní potřebujeme dokázat, že je obsah závorky dělitelný 6:
(x^4 - 2*x^3 + 2*x^2 - x + 126)=
126/6=21
(x^4 - 2*x^3 + 2*x^2 - x)=
nyní stačí dokázat že je tento výraz dělitelný 6:
x*(x^3 - 2*x^2 + 2*x^1 - 1)=
f(x*(x^3 - 2*x^2 + 2*x^1 - 1))=f(x)=
f(1*(1^3 - 2*1^2 + 2*1^1 - 1))=f(1)=0 OK
f(2*(2^3 - 2*2^2 + 2*2^1 - 1))=f(2)=6 OK
f(3*(3^3 - 2*3^2 + 2*3^1 - 1))=f(3)=42 OK
f(4*(4^3 - 2*4^2 + 2*4^1 - 1))=f(4)=156 OK
no ne že by to byl nejlepší důkaz ...
n=2*x-1
f(2*x-1) = f(x)
f(2*1-1) = f(1)=1
f(2*2-1) = f(2)=3
f(2*3-1) = f(3)=5
OK ?