Nemáte někdo vypočítanou Petákovou- strana 54 , cvičení 17-22? Už nad tím sedím pár dní a nevím :(
Odpovědi
Diskuze
Např. př.17 a:
(sin 2x + cos 2x)^2 = 0,5
(sin 2x)^2 + 2 sin 2x ⋅ cos 2x + (cos 2x)^2 = 0,5
1 + sin 4x = 0,5
sin 4x = – 0,5
4x = 210° + k⋅360° nebo 4x = 330° + k⋅360°
x = 52,5° + k⋅90° nebo x = 82,5° + k⋅90°
V radiánech pak
x = 7π /24 + k⋅π/2 nebo x = π /24 + k⋅π/2
Použijeme vzorec sin(x – y) = sin x cos y – cos x sin x:
2 sin(60° – x) = 2 sin 60° cos x – 2 cos 60° sin x = √3⋅cos x – sin x.
Po úpravě máme rovnici
sin x – (√3⋅cos x – sin x) = 0
2sin x – √3⋅cos x = 0
2sin x = √3⋅cos x … vydělíme cos x
2 (sin x)/(cos x) = √3 … vydělíme 2
tg x = √3/2
x = arctg √3/2 + kπ
sin (x + π/4) = sin x cos π/4 + cos x sin π/4 = √2/2⋅sin x + √2/2⋅cos x
5 cos (x – π/4) = 5(cos x cos π/4 + sin x sin π/4) = 5⋅√2/2⋅cos x + 5⋅√2/2⋅sin x
Takže po úpravě získáme rovnici
√2/2⋅sin x + √2/2⋅cos x = 5⋅√2/2⋅cos x + 5⋅√2/2⋅sin x
– 4⋅√2/2⋅sin x = 4⋅√2/2⋅cos x
tg x = – 1
x = 3π/4 + kπ
tg(x + π/6) = (tg x + tg π/6)/(1 – tg x ⋅ tg π/6) = (tg x + √3/3)/(1 – tg x ⋅ √3/3)
tg(x – π/3) = (tg x – tg π/3)/(1 + tg x ⋅ tg π/3) = (tg x – √3)/(1 + tg x ⋅ √3)
Rovnice po úpravě:
(tg x + √3/3)/(1 – tg x ⋅ √3/3)⋅(tg x – √3)/(1 + tg x ⋅ √3) = 1
Provedeme substituci y = tg x a řešíme rovnici
(y + √3/3)/(1 – y ⋅ √3/3)⋅(y – √3)/(1 +y ⋅ √3) = 1
Tato rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel.
sin(x+π/4)=sin x cos π/4 + cos x sin π/4 = sin x⋅√2/2+cos x⋅√2/2=√2/2⋅(cos x + sin x)
cos(x+π/4)=cos x cos π/4 – sin x cos π/4 = cos x⋅√2/2–sin x⋅√2/2=√2/2⋅(cos x – sin x)
Po úpravě dostaneme rovnici:
√2/2⋅(cos x + sin x) ⋅ √2/2⋅(cos x – sin x) = ¼
½ (cos^2(x) – sin^2(x)) = ¼
Rovnici vynásobíme 2 a sin^2 nahradíme výrazem 1 – cos^2(x):
cos^2(x) – 1 + cos^2(x) = ½
2 cos^2(x) = 1 + ½
cos^2(x) = ¾
cos x = √3/2 nebo cos x = –√3/2
Je-li cos x = √3/2, pak x = π/6 + 2kπ nebo x = 11π/6 ;
Je-li cos x = √3/2, pak x = 5π/6 + 2kπ nebo x = 7π/6
Výsledné řešení můžeme psát {π/6 + kπ; 5π/6 + kπ}