Důkazy
Prosím poraďte, jak mám dokázat, že výraz: 2*x3(na třetí) + 3*x2(na druhou) + x je dělitelný šesti, vůbec si s tím nevím rady :(
Odpovědi
Diskuze
x ( 2x^2 + 3x + 1 ) ; x ( 2x^2 + 2x + x + 1 )
dále na x (x+1) (2x+1)
je-li číslo x (x+1) (2x+1) dělitelné šesti musí platit :
1^3 + 2^ + 3^2 + …. + n^2 = (1/6) * x (x+1) (2x+1)
sx je součet řady pro index x.
Matematickou indukcí dokážeme :
a) Pro x = 1 dokazovaná rovnost platí : s1 = 1^2 = (1/6) *1*2*3
b) Předpokládejme, že platí pro x = k :
sk = 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + k^2 = (1/6) * k(k+1)(2k+1)
Ověříme, že pak platí i pro x = k+1 , tj. že platí :
s(k+1) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + k^2 + (k+1)^2
= (1/6) * k(k+1)(k+2)(2k+3)
postupně dostáváme :
sk +(k+1)^2 = (1/6) * k(k+1)(2k+1) + (k+1)^2 =
= (1/6) * (k+1)(2k^2 +k+6k+6)
= (1/6) * (k+1)(2k^2 +7k+6)
= (1/6) * (k+1)(k+2)(2k+3)
Protože jsme poznali, že jsou splněny podmínky a) b), platí tedy podle principu matematické indukce dokazovaná rovnost pro všechna x patřící do N.
A tím i, že je zadané číslo (vztah) dělitelné šesti. Součet řady je přirozené číslo. Tedy po dělení zadaného čísla šesti je výsledek přirozené číslo.