Součet druhých mocnin
Zdravím, děláme příklady, které se asi zahrnují do kvadratické funkce.
Mám číslo 65 a hledám:
a) nevím přesně jak se to nazýva, ale z toho čísla 65 uděláme dvě čísla, aby když je sečteme dali dokopy 65 a aby jejich součin byl co největší.
b) aby součet druhých mocnin byl co největší. (Opět dvě čísla, aby dokopy dali 65)
c) aby součet druhých mocnin byl co nejmenší.
Děláme to přes vrchol funkce, tj vím, že jedno číslo je x a druhé je 65-x a a to dosadím do funkce:
f: y=x * (65-x)
f: y=-x^2 + 65x
f: y=-(x^2-65x+(65/2)^2)+(65/2)^2
f: y=-(x-65/2)^2 +(65/2)^2
Vmax[65/2;(65/2)^2]
Z toho vidíme, že funkce má maximum (kvůli tomu -x^2) a to je to, co hledáme, takže první číslo je 65/2 a druhé taky tak. Takže maximum je právě, když jsou obě čísla polovina ze 65.
Jenže u těch dalších dvou nevím. Když to počítám touto metodou, tak mi vyjde jen pro funkci, která má minimum (takže to, kde součet druhých mocnin je nejmenší, bych dával), ale jak udělat, aby ty čísla měly co největší součet?
Snad ste mě pochopili, dík.
Mám číslo 65 a hledám:
a) nevím přesně jak se to nazýva, ale z toho čísla 65 uděláme dvě čísla, aby když je sečteme dali dokopy 65 a aby jejich součin byl co největší.
b) aby součet druhých mocnin byl co největší. (Opět dvě čísla, aby dokopy dali 65)
c) aby součet druhých mocnin byl co nejmenší.
Děláme to přes vrchol funkce, tj vím, že jedno číslo je x a druhé je 65-x a a to dosadím do funkce:
f: y=x * (65-x)
f: y=-x^2 + 65x
f: y=-(x^2-65x+(65/2)^2)+(65/2)^2
f: y=-(x-65/2)^2 +(65/2)^2
Vmax[65/2;(65/2)^2]
Z toho vidíme, že funkce má maximum (kvůli tomu -x^2) a to je to, co hledáme, takže první číslo je 65/2 a druhé taky tak. Takže maximum je právě, když jsou obě čísla polovina ze 65.
Jenže u těch dalších dvou nevím. Když to počítám touto metodou, tak mi vyjde jen pro funkci, která má minimum (takže to, kde součet druhých mocnin je nejmenší, bych dával), ale jak udělat, aby ty čísla měly co největší součet?
Snad ste mě pochopili, dík.
Odpovědi
Diskuze
Zkus to pomocí WolframAlpha:
www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D-%28x-65%2F2%29%5E2+%2B%2865%2F2%29%5E2
Mě napadlo toto: Vím, že to x může být od 0 do 75 včetně a když si to nakreslím, tak vidím, že největší hodnoty jsou pro f(0) - myslím, že x je 0 a pak pro f(75). Takže logicky by to měl být součet těch dvou koncových, kde se to jakoby nejvíc otevírá.
Mohl by mi moji domněnku někdo potvrdit/vyvrátit?
www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5E2+%2B+%2865-x%29%5E2
• funkce nemá maximum - jedině, že by bylo zadání jinak - tvoje pochybnost o řešení je na místě
• pokud je ale obor řešení v intervalu x=<0,65>, tak potom má dvě symstrická řešení (maxima) x1=0 a x2=65, čímž tvoji domněnku potvrzuji.
1. řešení: x=0,y=65
2. řešení: x=65,y=0
c) y=x^2 + (65-x)^2
www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5E2+%2B+%2865-x%29%5E2
min=65/2
PS: zůstává otázkou zda se to nemělo řešit v celých číslech