Ontola > Matematika > diskuze
| Nahlásit

Strany deltoidu

Ahoj,
potřebovala bych částečně pomoct s touto úlohou:
Jak dlouhé jsou strany deltoidu o obsahu 48 cm2, jsou-li úhlopříčky v poměru 3:2 a delší strana svírá s kratší úhlopříčkou úhel 60°.
Na délky uhlopříček jsem přišla, pokud se nemýlým tak 12 a 8. Jen už nevím, jak spočítat ty strany.
Děkuji předem za odpověď. Veronika
Témata: matematika

2 reakce

(Upr. 30.05.2020 21:54) | Nahlásit
S=48cm2
u1/u2=3/2

S=u1*u2/2
48=(u2*3/2)*u2/2
2*48*2/3=u2*u2
u2=8 cm
===
u1=3/2*u2=3/2*8=12 cm
===

zkouška:
S1=u1*u2/2
S1=12*8/2=48 cm2; OK
===

Součet vnitřních úhlů deltoidu (čtyřúhelníku) je 360°

α+β+γ+δ=360°

α=γ=60°

r - poloměr kružnice opsané 1/2 deltoidu (trojúhelníku)
kružnice je geometrickým místem, obvodových úhlů trojúhelníků s poloměrem r a úhlem α=60°

kosínová věta:

u1²=2r²-2r²*cos(2α)
u1²=2r²(1-cos(2α))

2*sin²(α) = 1-cos(2α); vzorec
https://cs.wikipedia.org/wiki/Goniometrick%C3%A1_funkce

u1²=2r²*2*sin²(α)
u1=2*r*sin(α); viz poloměr kružnice opsané pro trojúhelník

https://cs.wikipedia.org/wiki/Troj%C3%BAheln%C3%ADk
u1=2*r*sin(α)

sin(60°)=√3/2

u1=2*r*√3/2
r=u1/√3=12/√3; poloměr kružnice opsané
(Upr. 30.05.2020 19:34) | Nahlásit
analytická geometrie:

rovnice kružnice opsané trojúhelníku který je 1/2 deltoidu - rozdělení podle úhlopříčky u1:

x²+y²=r²
x²+y²=(12/√3)²
x²+y²=12*12/3=48

y=u2/2=8/2=4 cm; přímka rovnoběžná s hlavní osou (úhlopříčkou delotoidu)

x²+4²=48
x²=48-16=32
x=√32
x=4*√2
===

Pythagorova věta:

(u1/2 - x)² + (u2/2)² = a²
(12/2 - √32)² + (8/2)² = a²
(6-4√2)² + (4)² = a²
(6-32i@)@ + 4@ = a²
a=4,0146916452065702399014843858477
===

(u1/2 + x)² + (u2/2)² = b²
(12/2 + √32)² + (8/2)² = b²
(6+4√2)² + (4)² = b²
(6+32i@)@ + 4@ = b²
b=12,324051727979259108416516887306
===
 Anonym
Odpovídat lze i bez registrace. Dodržujte pravidla Ontoly
Vložit: Obrázek