Jaká jsou racionální a reálná čísla?

Racionální jsou čísla, která se dají vyjádřit zlomkem: 1 (1/1), 0,5 (1/2), 5/7, ...
Reálná čísla jsou všechny čísla, se kterými normálně počítáme. Tedy i ty, která nejsou racionální, jako Pí (Ludolfovo číslo), odmocnina ze dvou atd.

prosim o kontrolu:
N= přirozená čísla= 1,2 a 3...
Z= celá čísla= 0,-1 a -2 ...
Q= racionální= 3/4,7cela8 (7,8)
R= realna čísla= ????

Máš to dobře, jen u těch racionálních čísel nemusíš uvádět to "celá" - kažá následující množina vždy v sobě obsahuje prvky i té předchozí. Tedy celá čísla obsahují všechny přirozená, racionální všechny celá (a tedy i přirozená) a reálná úplně všechny.

Reálná mají navíc oproti racionálním i ty čísla, která nejdou vyjádřit jako zlomek. To je řeba to pí nebo odmocniny atd. Žádným zlomkem dvou celých číslel nejde zapsat číslo pí. Kdybys pí chtěla zapsat desetinným číslem, tak by to čílo mělo nekonečně číslic.

Jinak definice reálných čísel z Wikipedie: Reálná čísla jsou taková čísla, kterým můžeme jednoznačně přiřadit body nekonečné přímky (číselné osy) tak, aby tato čísla popisovala „vzdálenost“ od nějakého vybraného bodu (nuly) na takové přímce.

Takže bych to upravil:

N = přirozená čísla= 1, 2, 3...
Z = celá čísla= ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
Q = x/y, kde x a y jsou čísla ze Z (a y není 0)
R = Q + iracionální čísla (jako pí, odmocnina ze dvou atd.)

Ještě pro zajímavost možno dodat, iracionální čísla lze ještě dále rozdělit na algebraická (A) a transcendentní (T):
- algebraické číslo je kořenem nějakého polynomu s celočíselnými koeficienty (to jsou, zhruba řečeno, ty odmocniny)
- transcendentní není kořenem žádného takového polynomu (z těch známých třeba pí, e, Liouvilleovo číslo,...)

Dá se dokázat, že množina A algebraických čísel je spočetná (což v podstatě znamená, že se prvky množiny dají očíslovat neboli jednoznačně seřadit), tj. má stejnou mohutnost (stejně prvků), jako množiny N, Z a Q (ano, ty všechny mají stejný počet prvků, ačkoli se to na první pohled nezdá...)

Množina T transcendentních čísel naproti tomu spočetná není. Je také nekonečná, ale to nekonečno je "větší", je vyššího řádu, než nekonečno spočetných množin.

Takže nakonec těch nejpodivnějších čísel, které ani nejsou kořenem nějaké "rozumné" rovnice, je nespočetně víc než těch "normálních", která si jakž-takž dovedeme představit :-)

Více viz např. http://jdem.cz/bbcz52