Analytická geometrie
Dobrý večer, přátelé, mám na Vás dotaz. S tímto příkladem, za c, si opravdu nevím rady.
Napadlo mě jenom vypočítat vektory M-O a N-O, ale ono mi to nevychází...
Jsou dány body M[3;-2√2], N[-1;2√2]. Určete souřadnice bodu O tak, aby trojúhelník MNO byl pravoúhlý a rovnoramenný, s pravým úhlem u vrcholu O.
Můj postup. Kde mám prosím Vás chybu?
1, určila jsem si vektory u,v.
u= N-O = [-1;2√2] - [o1;O2] = (-1-o1; 2√2 -o2)
v = M-O = [3;-2√2] -[o1;O2] = (3-o1;-2√2 -o2]
A teď opravdu netuším, co s tím mám dělat dál. Mohl by mi prosím někdo poradit?
Napadlo mě jenom vypočítat vektory M-O a N-O, ale ono mi to nevychází...
Jsou dány body M[3;-2√2], N[-1;2√2]. Určete souřadnice bodu O tak, aby trojúhelník MNO byl pravoúhlý a rovnoramenný, s pravým úhlem u vrcholu O.
Můj postup. Kde mám prosím Vás chybu?
1, určila jsem si vektory u,v.
u= N-O = [-1;2√2] - [o1;O2] = (-1-o1; 2√2 -o2)
v = M-O = [3;-2√2] -[o1;O2] = (3-o1;-2√2 -o2]
A teď opravdu netuším, co s tím mám dělat dál. Mohl by mi prosím někdo poradit?
Odpovědi
Diskuze
V tuto chvíli vám stačí, abyste si uvědomila, jaké vlastnosti má mít trojúhelník MNO.
Má být rovnoramenný, tudíž je třeba, aby vaše vektory měly stejnou délku, protože eukleidovská vzdálenost z bodu M do bodu O musí být stejná jako vzdálenost z bodu N do bodu O.
Dále víte, že u vrcholu O má být pravý úhel. Z toho plyne, že vektory u a v musí být navzájem ortogonální (kolmé), tedy jejich skalární součin je nutně roven nule.
Máte dvě rovnice:
u * v = 0
|u| = |v|
Pomocí nich by mělo být možné dojít k výsledku.
Napadlo mě tedy ještě jedno řešení, pokud to první bude k nepochopení, případně jen pro zajímavost:
1. Najdete obecnou rovnici přímky p dané body M a N.
2. Najdete bod S, který leží na přímce p a platí |MS| = |NS|
3. Najdete rovnici Thaletovy kružnice T se středem v bodě S a s poloměrem o délce |MS|
4. Najděte rovnici přímky q, která je kolmá k přímce p a prochází bodem S
5. Najděte body, které jsou průsečíky přímky q a kružnice T
Jen jsem zapomněl doplnit, že samozřejmě vám jako řešení vyjdou dva body
Přikládám foto.
Vaši neznámou o1 jsem nazval p, o2 naopak q
u * v = 0
|u| = |v|
(-1 - p)*(3 - p) + (2*√2 - q)(-2*√2 - q) = 0
√((-1 - p)^2 + (2*√2 - q)^2) = √((3 - p)^2 + (-2*√2 - q)^2)
Jde o soustavu dvou rovnic, která po úpravách vypadá následovně (u druhé rovnice jsem použil neekvivalentní úpravu umocnění obou stran rovnice, tudíž je potřeba na konci provést zkoušku):
(p - 1)^2 + q^2 = 12
p = 1 + √2*q
Z druhé rovnice postupně vyjádřím p a q, dosadím do první rovnice a vyjde následující:
q1 = 2, q2 = -2
p1 = 1 + 2*√2, p2 = 1 - 2*√2
V úvahu připadají body:
O1[1 + 2*√2; 2]
O2[1 - 2*√2; 2]
O3[1 + 2*√2; -2]
O4[1 - 2*√2; -2]
Nyní to dosaďte do rovnice |u| = |v|, ukáže se, že výslednými body jsou:
O1[1 + 2*√2; 2]
O4[1 - 2*√2; -2]
Tak věřím, že je to jasné, případně mě překontrolujte, nebo se ozvěte, pokud je něco nejasné.
https://www.desmos.com/calculator/l8xjlttppd
Černé body jsou zadané (M, N), zelené výsledné (O, O').
Červená přímka je daná zadanými body, modrá je na ni kolmá a prochází bodem na půli cesty mezi M a N.
Červená kružnice je Thaletova kružnice daná body M a N a středem v bodě S, takže každý bod na kružnici (kromě bodů M a N) tvoří s M a N pravoúhlý trojúhelník. Průsečík s modrou přímkou zajišťuje, že |MO| = |NO|.