| Nahlásit

Analytická geometrie

Dobrý večer, přátelé, mám na Vás dotaz. S tímto příkladem, za c, si opravdu nevím rady.
Napadlo mě jenom vypočítat vektory M-O a N-O, ale ono mi to nevychází...


Jsou dány body M[3;-2√2], N[-1;2√2]. Určete souřadnice bodu O tak, aby trojúhelník MNO byl pravoúhlý a rovnoramenný, s pravým úhlem u vrcholu O.

Můj postup. Kde mám prosím Vás chybu?

1, určila jsem si vektory u,v.
u= N-O = [-1;2√2] - [o1;O2] = (-1-o1; 2√2 -o2)
v = M-O = [3;-2√2] -[o1;O2] = (3-o1;-2√2 -o2]

A teď opravdu netuším, co s tím mám dělat dál. Mohl by mi prosím někdo poradit?
Témata: matematika

9 reakcí

(Upraveno 14.09. 20:05) | Nahlásit
Postupujete správně.
V tuto chvíli vám stačí, abyste si uvědomila, jaké vlastnosti má mít trojúhelník MNO.
Má být rovnoramenný, tudíž je třeba, aby vaše vektory měly stejnou délku, protože eukleidovská vzdálenost z bodu M do bodu O musí být stejná jako vzdálenost z bodu N do bodu O.
Dále víte, že u vrcholu O má být pravý úhel. Z toho plyne, že vektory u a v musí být navzájem ortogonální (kolmé), tedy jejich skalární součin je nutně roven nule.
Máte dvě rovnice:
u * v = 0
|u| = |v|
Pomocí nich by mělo být možné dojít k výsledku.
| Nahlásit
Dobrý den, děkuji moc :) zkusím to.
(Upraveno 14.09. 20:17) | Nahlásit
Vůbec nemáte zač. Určitě se ozvěte, pokud vám to nebude vycházet.
Napadlo mě tedy ještě jedno řešení, pokud to první bude k nepochopení, případně jen pro zajímavost:
1. Najdete obecnou rovnici přímky p dané body M a N.
2. Najdete bod S, který leží na přímce p a platí |MS| = |NS|
3. Najdete rovnici Thaletovy kružnice T se středem v bodě S a s poloměrem o délce |MS|
4. Najděte rovnici přímky q, která je kolmá k přímce p a prochází bodem S
5. Najděte body, které jsou průsečíky přímky q a kružnice T

Jen jsem zapomněl doplnit, že samozřejmě vám jako řešení vyjdou dva body
| Nahlásit
Ozývám se. Pokusila jsem se do těchto vzorečků dosadit a dospěla jsem k tomuto. Jdu to vypočítat, ale myslím si, že to mám blbě.
Přikládám foto.
| Nahlásit
Bohužel to jde strašně špatně vidět, nešlo by to (kamkoliv) nahrát v lepší kvalitě?
(Upraveno 14.09. 21:38) | Nahlásit
Děkuji Cunyvarovi! Z obrázku moc nechápu, na čem jste se zasekla, Anonymko Kyleweg, každopádně přepíšu vám sem svůj postup

Vaši neznámou o1 jsem nazval p, o2 naopak q

u * v = 0
|u| = |v|

(-1 - p)*(3 - p) + (2*√2 - q)(-2*√2 - q) = 0
√((-1 - p)^2 + (2*√2 - q)^2) = √((3 - p)^2 + (-2*√2 - q)^2)

Jde o soustavu dvou rovnic, která po úpravách vypadá následovně (u druhé rovnice jsem použil neekvivalentní úpravu umocnění obou stran rovnice, tudíž je potřeba na konci provést zkoušku):

(p - 1)^2 + q^2 = 12
p = 1 + √2*q

Z druhé rovnice postupně vyjádřím p a q, dosadím do první rovnice a vyjde následující:

q1 = 2, q2 = -2
p1 = 1 + 2*√2, p2 = 1 - 2*√2

V úvahu připadají body:

O1[1 + 2*√2; 2]
O2[1 - 2*√2; 2]
O3[1 + 2*√2; -2]
O4[1 - 2*√2; -2]

Nyní to dosaďte do rovnice |u| = |v|, ukáže se, že výslednými body jsou:

O1[1 + 2*√2; 2]
O4[1 - 2*√2; -2]

Tak věřím, že je to jasné, případně mě překontrolujte, nebo se ozvěte, pokud je něco nejasné.
| Nahlásit
Dobrý den, strašně moc Vám děkuji!
| Nahlásit
Nemáte zač, tady si můžete ověřit, že výsledek je platný:

https://www.desmos.com/calculator/l8xjlttppd

Černé body jsou zadané (M, N), zelené výsledné (O, O').
Červená přímka je daná zadanými body, modrá je na ni kolmá a prochází bodem na půli cesty mezi M a N.
Červená kružnice je Thaletova kružnice daná body M a N a středem v bodě S, takže každý bod na kružnici (kromě bodů M a N) tvoří s M a N pravoúhlý trojúhelník. Průsečík s modrou přímkou zajišťuje, že |MO| = |NO|.
 Anonym
Odpovídat lze i bez registrace. Dodržujte pravidla Ontoly
Vložit: Obrázek