Směrnice tečny
y= (arctan 1/x)^2 v bodě x= √3/3
Odpovědi
Diskuze
máme funkci f(x) = (arctg(1/x))^2 a hledáme směrnice tečny této funkce v bodě x_0 = √(3)/3.
Definičním oborem f je množina R \ {0}, tj. pro zadaný bod x_0 je funkce definovaná a vzhledem k povaze definičního oboru bude v tomto bodě existovat derivace i tečna.
Nejprve najděme derivaci funkce f(x), tj. funkci f'(x)
f'(x) = ((arctg(1/x))^2)' = 2 * arctg(1/x) * (arctg(1/x))' = 2 * arctg(1/x) * (1/(1 + (1/x)^2)) * (1/x)' = 2 * arctg(1/x) * (1/(1 + (1/x)^2)) * (-1/x^2) = (2 * arctg(1/x))/((1 + (1/x)^2)(-x^2)).
Nyní dosaďme bod x_0 do funkce f'(x).
f'(x_0) = (2 * arctg(√3))/((1 + (√3)^2)(-1/3)) = (2 * pi/3)/(-4/3) = -pi/2
Směrnice tečny funkce f v bodě √3/3 je -pi/2.
√3/3 je asi 0,6
-pi/2 je asi -1,6
Podle grafu ta směrnice tedy zhruba odpovídá :-)
sin2x
y= ln(-------) + x
cos(x/2)
v bodě x0 = pí/2
ln(sin2x/cos(x/2))+x = ln(sin2x)-ln(cos(x/2)+x
to zderivujete "z hlavy".